Bài 5.
Ta có: $(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2\ge 0$
`<=>a^2-2ab+b^2+a^2-2ac+c^2+b^2-2bc+c^2>=0`
`<=>2a^2+2b^2+2c^2>=2ab+2ac+2bc`
`<=>2(a^2+b^2+c^2)>= 2(ab+ac+bc)`
`2ab+2ac+2bc`
`=ab+ab+ac+ac+bc+bc`
`=a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)`
Vì `a+b+c=`
$\Rightarrow \begin{cases}a+b=2-c\\b+c=2-a\\a+c=2-b\end{cases}$
Thay $a+b=2-c,b+c=2-a,a+c=2-b$ vào $a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)$
$a(2-a)+b(2-b)+c(2-c)\\=2a+2b+2c-(a^2+b^2+c^2)\\=2(a+b+c)-(a^2+b^2+c^2)\\=4-(a^2+b^2+c^2)$
mà $2(a^2+b^2+c^2)\ge 2(ab+ac+bc)$
$\RIghtarrow 2(a^2+b^2+c^2)\ge 4-(a^2+b^2+c^2)\\\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\ge 4\\\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge \dfrac{4}{3}$
$\Rightarrow$ Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
mà $a+b+c=2$
$\to a=b=c=\dfrac{2}{3}$
Vậy $A$ đạt GTNN là `4/3` tại `a=b=c=2/3`
a) Xét ΔECB vuông tại E và ΔDCA vuông tại D có
\(\widehat{ACD}\) chung
Do đó: ΔECB\(\sim\)ΔDCA(g-g
b: Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có
\(\widehat{FAC}\) chung
Do đó: ΔAEB\(\sim\)ΔAFC
Suy ra: \(\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AC}\)
hay \(AE\cdot AC=AB\cdot AF\)
