1.
\(y'=x^2-2xm+m^2-m-1\)
\(y''=2x-2m\)
Hàm đạt cực đại tại \(x=1\) khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}y'\left(1\right)=0\\y''\left(1\right)< 0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-3m=0\\2-2m< 0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow m=3\)
2.
\(y'=3x^2-6x+m\)
\(y''=6x-6\)
Hàm đạt cực đại tại \(x=0\) khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}y'\left(0\right)=0\\y''\left(0\right)< 0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=0\\-6< 0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow m=0\)
3.
\(y'=3x^2-4mx+m^2\)
\(y''=6x-4m\)
Hàm đạt cực tiểu tại \(x=1\) khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}y'\left(1\right)=0\\y''\left(1\right)>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-4m+3=0\\6-4m>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=3\end{matrix}\right.\\m< \dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow x=1\)
4.
\(y'=3mx^2+2x+m^2-6\)
\(y''=6mx+2\)
Hàm đạt cực tiểu tại \(x=1\) khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}y'\left(1\right)=0\\y''\left(1\right)>0\\\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2+3m-4=0\\6m+2>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=-4\end{matrix}\right.\\m>-\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow m=1\)
5.
\(y'=x^2-2mx+m^2-4\)
\(y''=2x-2m\)
Hàm đạt cực đại tại \(x=3\) khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}y'\left(3\right)=0\\y''\left(3\right)< 0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-6m+5=0\\6-2m< 0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=5\end{matrix}\right.\\m>3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow m=5\)
6.
\(y'=3x^2-6mx+2\)
\(y''=6x-6m\)
Hàm đạt cực tiểu tại \(x=1\) khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}y'\left(1\right)=0\\y''\left(1\right)>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}5-6m=0\\6-6m>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=\dfrac{5}{6}\\m< 1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow m=\dfrac{5}{6}\)
7.
\(y=\dfrac{x\left(x+m\right)+1}{x+m}=x+\dfrac{1}{x+m}\)
\(y'=1-\dfrac{1}{\left(x+m\right)^2}\)
\(y''=\dfrac{2}{\left(x+m\right)^3}\)
Hàm đặt cực đại tại \(x=2\) khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}y'\left(2\right)=0\\y''\left(2\right)< 0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-\dfrac{1}{\left(m+2\right)^2}=0\\\dfrac{2}{\left(m+2\right)^3}< 0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}m=-3\\m=-1\end{matrix}\right.\\m< -2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow m=-3\)
8.
\(A\) thuộc đồ thị hàm số \(\Rightarrow-2=2^3-3.2^2+2a+b\)
\(\Leftrightarrow b=-2a+2\)
\(y'=3x^2-6x+a\)
\(y''=6x-6\)
Hàm đạt cực tiểu tại \(x=2\) khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}y'\left(2\right)=0\\y''\left(2\right)>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=0\\6>0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a=0\) \(\Rightarrow b=2\)
\(\Rightarrow a+b=2\)
9.
\(y'=3ax^2+2bx+c\)
Do \(x=1\) và \(x=2\) là 2 điểm cực trị
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y'\left(1\right)=0\\y'\left(2\right)=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3a+2b+c=0\\12a+4b+c=0\end{matrix}\right.\) (1)
Mặt khác A, B thuộc đồ thị hàm số nên:
\(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c+d=-7\\8a+4b+2c+d=-8\end{matrix}\right.\) (2)
Từ (1); (2) ta có hệ:
\(\left\{{}\begin{matrix}3a+2b+c=0\\12a+4b+c=0\\a+b+c+d=-7\\8a+4b+2c+d=-8\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=-9\\c=12\\d=-12\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow y=2x^3-9x^2+12x-12\)
\(\Rightarrow y\left(-1\right)=-35\)
