Phản chứng, giả sử rằng tồn tại 5 điểm A,B,C,D,E sao cho 3 điểm bất kì là 3 đỉnh của một tam giác vuông. Xét một đỉnh A, có bốn đoạn thẳng nối với A là AB,AC,AD,AE và không có hai đoạn nào nằm trên 1 đường thẳng (vì nếu không sẽ có 3 điểm thẳng hàng, do đó không thể là ba đỉnh tam giác vuông). Bốn đoạn trên tạo ra tại A tối đa 2 góc vuông. Vì số tam giác vuông là \(\frac{5\times4}{2}=10\), nên ta suy ra mỗi đỉnh có thể chia thành 2 cặp các đoạn thẳng vuông góc với nhau tại điểm đó. Khi đó hai góc còn lại có tổng là \(180^{\circ}\), mà mỗi chúng đều khác \(90^{\circ}\to\), có hai đoạn thẳng tạo với nhau góc tù. Giả sử hai đoạn đó là \(AB,AC\to\angle BAC>90^{\circ}\to\Delta ABC\) không phải là tam giác vuông, mâu thuẫn.
Vậy không tồn tại 5 điểm sao cho 3 điểm bất kì là 3 đỉnh của tam giác vuông. ĐPCM
