Question

Answer 1

a) Vì \(\angle BEC=\angle BFC=90\Rightarrow BCEF\) nội tiếp \(\Rightarrow\angle AFE=\angle ACB\)

Xét \(\Delta AFE\) và \(\Delta ACB:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle AFE=\angle ACB\\\angle BACchung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta AFE\sim\Delta ACB\left(g-g\right)\)

Vì \(\angle HDC+\angle HEC=90+90=180\Rightarrow HDCE\) nội tiếp

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\angle HDE=\angle HCE=\angle ECF=\angle EBF\left(BCEFnt\right)\\\angle HED=\angle HCD=\angle FCB=\angle FEB\left(BCEFnt\right)\end{matrix}\right.\)

Xét \(\Delta BFE\) và \(\Delta DHE:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle HDE=\angle EFB\\\angle HED=\angle FEB\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta BFE\sim\Delta DHE\left(g-g\right)\)

b) Ta có: \(\angle HDB+\angle HFB=90+90=180\Rightarrow HFBD\) nội tiếp

\(\Rightarrow\angle DFH=\angle HBD=\angle EBC=\angle EFC\) (BCEF nội tiếp)

\(\Rightarrow FC\) là phân giác \(\angle EFD\)

Lại có: \(\angle FEB=\angle HED\Rightarrow EH\) là phân giác \(\angle DEF\)

\(\Rightarrow H\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF

c) Vì \(IK\parallel AC\) mà \(AC\bot BH\Rightarrow IK\bot BH\)

Vì \(IK\parallel AC\) \(\Rightarrow\dfrac{IB}{AC}=\dfrac{MB}{MC}\)

Vì \(IK\parallel AC\) \(\Rightarrow\dfrac{BK}{AC}=\dfrac{BD}{DC}\)

Vì EB là phân giác \(\angle MED\Rightarrow\dfrac{BD}{BM}=\dfrac{ED}{EM}\)

Vì EB là phân giác \(\angle MED\) mà \(EC\bot EB\Rightarrow EC\) là phân giác ngoài \(\angle MED\)

\(\Rightarrow\dfrac{CD}{CM}=\dfrac{ED}{EM}=\dfrac{BD}{BM}\Rightarrow\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{BM}{CM}\Rightarrow\dfrac{IB}{AC}=\dfrac{BK}{AC}\Rightarrow BI=BK\)

mà HB là đường cao nên BH vừa là đường cao vừa là trung tuyến 

nên tam giác HIK cân tại H