a) tam giác AHB vuông tại H có HM là đường cao nên áp dụng hệ thức lượng
\(\Rightarrow AM.AB=AH^2\)
tam giác AHC vuông tại H có HN là đường cao nên áp dụng hệ thức lượng
\(\Rightarrow AN.AC=AH^2\Rightarrow AN.AB=AN.AC\)
b) Ta có: \(\dfrac{1}{cotB+cotC}=\dfrac{1}{\dfrac{AB}{AC}+\dfrac{AC}{AB}}=\dfrac{1}{\dfrac{AB^2+AC^2}{AB.AC}}\)
\(=\dfrac{AB.AC}{BC^2}=\dfrac{AH.BC}{BC^2}=\dfrac{AH}{BC}\)
c) Ta có: \(\dfrac{S_{AMN}}{S_{ABC}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}.AM.AN}{\dfrac{1}{2}.AB.AC}=\dfrac{AM.AN}{AB.AC}=\dfrac{AM.AB.AN.AC}{\left(AB.AC\right)^2}\)
\(=\dfrac{AH^2.AH^2}{AH^2.BC^2}=\dfrac{AH^2}{BC^2}=\dfrac{AH^2.BC^2}{BC^2.BC^2}=\dfrac{AB^2.AC^2}{BC^2.BC^2}=\left(\dfrac{AB}{BC}\right)^2.\left(\dfrac{AC}{BC}\right)^2\)
\(=sin^2B.sin^2C\Rightarrow S_{MAN}=sin^2B.sin^2C.S_{ABC}\)
