\(A+B+C=180\Leftrightarrow A+B+2B=180\)
\(\Leftrightarrow A+3B=180\)
\(\Rightarrow A=180-3B\)
Do A nhọn \(\Rightarrow0< A< 90\Rightarrow0< 180-3B< 90\)
\(\Rightarrow30< B< 60\) (1)
Lại có góc B bằng nửa góc C nên nếu \(B\ge45\Rightarrow C\ge90\) không phải góc nhọn (loại)
\(\Rightarrow B< 45\) (2)
(1); (2) \(\Rightarrow30< B< 45\)
b.
Do \(BC=CK\Rightarrow\Delta BCK\) cân tại C
\(\Rightarrow\widehat{K}=\widehat{CBK}\)
Lại có: \(\widehat{ACB}\) là góc ngoài của tam giác BCK
\(\Rightarrow\widehat{ACB}=\widehat{K}+\widehat{CBK}=2\widehat{CBK}=2\widehat{K}\)
Mà \(\widehat{ACB}=2\widehat{ABC}\) theo giả thiết
\(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{K}\)
\(\Rightarrow\Delta ABC\sim\Delta AKB\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AK}=\dfrac{AC}{AB}\Rightarrow AB^2=AC.AK=AC\left(AC+CK\right)=AC\left(AC+BC\right)\) (đpcm)
