\(g'\left(x\right)=\left(3x^2+6x\right).f'\left(x^3+3x^2\right)-6x^2-12x\)
\(=3\left(x^2+2x\right)\left[f'\left(x^3+3x^2\right)-2\right]=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-2\\f'\left(x^3+3x^2\right)=2\end{matrix}\right.\)
Từ đồ thị ta thấy đường thẳng \(y=2\) cắt \(y=f'\left(x\right)\) tại 4 điểm phân biệt:
\(x_1< 0< x_2< 2< x_3< 4< x_4\)
Lập BBT cho hàm \(y=x^3+3x^2\), xét số giao điểm của đường thẳng \(y=k\) (trong đó giá trị của k ứng với 4 nghiệm bên trên) với \(y=x^3+3x^2\) ta thấy:
- Với \(k< 0\Rightarrow y=k\) cắt \(y=x^3+3x^2\) tại đúng 1 điểm
- Với \(0< k< 2\) cắt tại 3 điểm
- Với \(2< k< 4\) cắt tại 3 điểm
- Với \(k>4\) cắt tại đúng 1 điểm
Vậy hàm đã cho tổng cộng có \(2+1+3+3+1=10\) cực trị
