Từ đồ thị ta thấy hàm \(f\left(x\right)\) có 4 cực trị gồm: \(x_1< -1< x_2< 0< x_3< 1< x_4\)
Do đó hàm \(f\left(e^{2x}-2x-2\right)\) có thể có các cực trị gồm:
\(e^{2x}-2x-2=x_1\Rightarrow e^{2x}-2x-2-x_1=0\)
Tương tự: \(e^{2x}-2x-2-x_2=0\) ;...; \(e^{2x}-2x-2-x_4=0\) (1)
Xét hàm \(g\left(x\right)=e^{2x}-2x-2-k\)
\(g'\left(x\right)=2.e^{2x}-2=0\Rightarrow x=0\) \(\Rightarrow g\left(x\right)\) có tối đa 2 nghiệm
Mặt khác dễ dàng nhận thấy \(e^{2x}-2x-1=0\) có đúng 1 nghiệm (kép) \(x=0\)
\(\Rightarrow g\left(x\right)=e^{2x}-2x-1-\left(k+1\right)=0\) sẽ:
- Có đúng 1 nghiệm khi \(k=-1\)
- Có 2 nghiệm pb trái dấu khi \(k+1>0\Leftrightarrow k>-1\)
- Vô nghiệm khi \(k< -1\)
So sánh với (1), ta suy ra \(f\left(e^{2x}-2x-2\right)\) có 6 cực trị (ứng với \(x_2;x_3;x_4\)) trong đó 3 cực trị âm và 3 cực trị dương
\(\Rightarrow\) Số cực trị của \(g\left(x\right)\) là \(2.3+1=7\)
