a: Xét ΔACE vuông tại C và ΔAKE vuông tại K có
AE chung
\(\hat{CAE}=\hat{KAE}\)
Do đó: ΔACE=ΔAKE
=>AC=AK và EC=EK
AC=AK
=>A nằm trên đường trung trực của CK(1)
EC=EK
=>E nằm trên đường trung trực của CK(2)
Từ (1),(2) suy ra AE là đường trung trực của CK
=>AE⊥CK
b: Xét ΔAKC có AK=AC và \(\hat{KAC}=60^0\)
nên ΔAKC đều
=>AC=CK=AK và \(\hat{ACK}=\hat{AKC}=\hat{CAK}=60^0\)
Ta có: \(\hat{ACK}+\hat{BCK}=\hat{ACB}=90^0\)
\(\hat{KAC}+\hat{KBC}=90^0\) (ΔABC vuông tại A)
mà \(\hat{ACK}=\hat{KAC}\)
nên \(\hat{KBC}=\hat{KCB}\)
=>ΔKBC cân tại K
=>KB=KC
mà KC=KA
nên KB=KA
=>K là trung điểm của AB
=>AB=2AK
mà AK=AC
nên AB=2AC
c: AE là phân giác của góc CAB
=>\(\hat{CAE}=\hat{BAE}=\frac12\cdot\hat{CAB}=\frac12\cdot60^0=30^0\)
Ta có; ΔACB vuông tại C
=>\(\hat{CAB}+\hat{CBA}=90^0\)
=>\(\hat{CBA}=90^0-60^0=30^0\)
Xét ΔEAB có \(\hat{EAB}=\hat{EBA}\left(=30^0\right)\)
nên ΔEAB cân tại E
=>EA=EB
mà EA>AC
nên EB>AC
d: Gọi H là giao điểm của BD và AC
Xét ΔAHB có
AD,BC là các đường cao
AD cắt BC tại E
Do đó; E là trực tâm của ΔAHB
=>HE⊥AB
mà EK⊥AB
và HE,EK có điểm chung là E
nên H,E,K thẳng hàng
=>AC,EK,BD đồng quy tại H
