Cho \(x\) là năng suất dự định làm của người đó \(\left(x\in N\text{*}\right)\).

Thời gian dự định làm của người đó là \(\dfrac{60}{x}\).

Do mỗi giờ làm thêm 4 sản phẩm nên năng suất thực tế là \(x+4\).

Thời gian thực tế người đó làm 60 sản phẩm và thêm 12 sản phẩm : \(\dfrac{60+12}{x+4}=\dfrac{72}{x+4}\).

Do làm sớm trước kế hoạch \(30\left(phút\right)=\dfrac{1}{2}\left(h\right)\) nên : \(\dfrac{60}{x}-\dfrac{72}{x+4}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow120\left(x+4\right)-144x=x\left(x+4\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+28x-480=0\left(I\right)\).

Phương trình \(\left(I\right)\) có : \(\Delta'=b'^2-ac=14^2-1.\left(-480\right)=676>0\)

Suy ra, phương trình \(\left(I\right)\) có hai nghiệm phân biệt : 

\(\left[{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{-b'+\sqrt{\Delta'}}{a}=\dfrac{-14+\sqrt{676}}{1}=12\left(tm\right)\\x_2=\dfrac{-b'-\sqrt{\Delta'}}{a}=\dfrac{-14-\sqrt{676}}{1}=-40\left(ktm\right)\end{matrix}\right.\).

Vậy : Năng suất thực tế làm của người đó là \(x+4=12+4=16\) (sản phẩm/giờ).

Đổi : \(m_{nh}=400\left(g\right)=0,4\left(kg\right)\)

\(1\left(l\right)=1\left(kg\right)=m_n\)

Nhiệt lượng cần cung cấp cho ấm nhôm là : 

\(Q_{nh}=m_{nh}c_{nh}\left(t-t_o\right)=0,4\cdot880\cdot\left(100-20\right)=28160\left(J\right)\)

Nhiệt lượng cần cung cấp cho nước là : 

\(Q_n=m_nc_n\left(t-t_o\right)=1.4200.\left(100-20\right)=336000\left(J\right)\)

Nhiệt lượng tối thiểu để đun sôi ấm nước là : 

\(Q=Q_{nh}+Q_n=28160+336000=364160\left(J\right)\)

Vậy : \(Q=364160\left(J\right)\).

Bài IV.b.

Chứng minh : Ta có : \(OB=OC=R\) nên \(O\) nằm trên đường trung trực \(d\) của \(BC\).

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau thì \(IB=IC\), suy ra \(I\in d\).

Suy ra được \(OI\) là một phần của đường trung trực \(d\) của \(BC\) \(\Rightarrow OI\perp BC\) tại \(M\) và \(MB=MC\).

Xét \(\Delta OBI\) vuông tại \(B\) có : \(MB^2=OM.OI\).

Lại có : \(BC=MB+MC=2MB\)

\(\Rightarrow BC^2=4MB^2=4OM.OI\left(đpcm\right).\)

Tính diện tích hình quạt tròn

Ta có : \(\hat{BAC}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{BC}\Rightarrow sđ\stackrel\frown{BC}=2.\hat{BAC}=2.70^o=140^o\) (góc nội tiếp).

\(\Rightarrow S=\dfrac{\pi R^2n}{360}=\dfrac{\pi R^2.140^o}{360}=\dfrac{7}{18}\pi R^2\left(đvdt\right)\)

Bài III.2b.

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left(P\right)\) và \(\left(d\right)\) : \(x^2=\left(m+1\right)x-m-4\)

hay : \(x^2-\left(m+1\right)x+m+4=0\left(I\right)\)

\(\left(d\right)\) cắt \(\left(P\right)\) tại hai điểm nên phương trình \(\left(I\right)\) sẽ có hai nghiệm phân biệt. Do đó, phương trình \(\left(I\right)\) phải có : 

\(\Delta=b^2-4ac=\left[-\left(m+1\right)\right]^2-4.1.\left(m+4\right)\)

\(=m^2+2m+1-4m-16\)

\(=m^2-2m-15>0\).

\(\Rightarrow m< -3\) hoặc \(m>5\).

Theo đề bài : \(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}=2\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}\right)^2=\left(2\sqrt{3}\right)^2=12\)

\(\Leftrightarrow x_1+x_2+2\sqrt{x_1x_2}=12\left(II\right)\)

Do phương trình \(\left(I\right)\) có hai nghiệm khi \(m< -3\) hoặc \(m>5\) nên theo định lí Vi-ét, ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-\left(m+1\right)}{1}=m+1\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{m+4}{1}=m+4\end{matrix}\right.\).

Thay vào \(\left(II\right)\) ta được : \(m+1+2\sqrt{m+4}=12\)

Đặt \(t=\sqrt{m+4}\left(t\ge0\right)\), viết lại phương trình trên thành : \(t^2-3+2t=12\)

\(\Leftrightarrow t^2+2t-15=0\left(III\right)\).

Phương trình \(\left(III\right)\) có : \(\Delta'=b'^2-ac=1^2-1.\left(-15\right)=16>0\).

Suy ra, \(\left(III\right)\) có hai nghiệm phân biệt : 

\(\left\{{}\begin{matrix}t_1=\dfrac{-b'+\sqrt{\Delta'}}{a}=\dfrac{-1+\sqrt{16}}{1}=3\left(t/m\right)\\t_2=\dfrac{-b'-\sqrt{\Delta'}}{a}=\dfrac{-1-\sqrt{16}}{1}=-5\left(ktm\right)\end{matrix}\right.\)

Suy ra được : \(\sqrt{m+4}=3\Rightarrow m=5\left(ktm\right)\).

Vậy : Không có giá trị m thỏa mãn đề bài.

Theo đề bài : \(a-b=3\Rightarrow a=b+3\).

Thay \(a=b+3\) vào \(A\) ta được : 

\(A=\dfrac{a-8}{b-5}-\dfrac{4a-b}{3a+3}\)

\(=\dfrac{b+3-8}{b-5}-\dfrac{4\left(b+3\right)-b}{3\left(b+3\right)+3}\)

\(=\dfrac{b-5}{b-5}-\dfrac{4b+12-b}{3b+9+3}\)

\(=1-\dfrac{3b+12}{3b+12}=1-1=0\)

Vậy : Với \(a-b=3\) thì \(A=0.\)

Một người đứng tại điểm \(A\) bên bờ sông và cần sang điểm \(B\) ở bên kia (hình \(1\)). Biết \(AC=300(m)\), \(CB=600(m)\), dòng nước chảy với vận tốc \(u=1(m/s)\) (đối với bờ sông), người có thể bơi với vận tốc \(3(m/s)\) (đối với nước) và chạy trên bờ với vận tốc \(4(m/s)\). Tìm điểm \(D\) trên bờ mà người này chạy từ \(A\) đến đó với bơi đến \(B\) với tổng thời gian là ngắn nhất. Tìm thời gian ngắn nhất này.

(Hình vẽ gốc chỉ có \(A,B,C\) thôi nhé)

a) \(P\left(0\right)=2.0^4+3.0^2+1=1\)

\(P\left(1\right)=2.1^4+3.1^2+1=6\)

\(P\left(-2\right)=2.\left(-2\right)^4+3.\left(-2\right)^2+1=45\)

b) Ta có : \(x^4\ge0\) và \(x^2\ge0\) với mọi x thuộc R, suy ra \(2x^4,3x^2\ge0\) với mọi x thuộc R.

Cộng lại ta được \(2x^4+3x^2\ge0\)

Hay \(P\left(x\right)=2x^4+3x^2+1\ge1>0\). Vì vậy, với mọi x = a thì \(P\left(a\right)>0\) với mọi a thuộc R.

a) Do hứng được ảnh trên màn nên thấu kính đã sử dụng là thấu kính hội tụ.

b) 

Đổi : \(AB=h=5\left(mm\right)=0,5\left(cm\right)\)

Xét \(\Delta OAB\sim\Delta OA'B'\) : \(\dfrac{OA}{OA'}=\dfrac{AB}{A'B'}\) (*)

Xét \(\Delta F'OI\sim\Delta F'A'B'\) : \(\dfrac{OI}{A'B'}=\dfrac{OF'}{F'A'}\).

Mà \(OI=AB\) và \(F'A'=OA'-OF'\) nên \(\dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{OF'}{OA'-OF'}\).

Từ đó, suy ra : \(\dfrac{OA}{OA'}=\dfrac{OF'}{OA'-OF'}\Leftrightarrow\dfrac{18}{d'}=\dfrac{12}{d'-12}\Leftrightarrow d'=36\left(cm\right)\)

Thay lại vào (*) ta được : \(\dfrac{18}{36}=\dfrac{0,5}{h'}\Leftrightarrow h'=1\left(cm\right)\)

Vậy : Ảnh ở vị trí cách thấu kính 36cm và cao 1cm.

Với mọi \(x>0\) và \(x\ne4\), ta có : 

\(B=\left(\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}-\dfrac{4}{\sqrt{x}+2}-\dfrac{8}{x-4}\right):\dfrac{x+4}{x\sqrt{x}-4\sqrt{x}}\)

\(=\dfrac{\left(\sqrt{x}+2\right)^2-4\left(\sqrt{x}-2\right)-8}{x-4}:\dfrac{x+4}{\sqrt{x}\left(x-4\right)}\)

\(=\dfrac{x+4\sqrt{x}+4-4\sqrt{x}+8-8}{x-4}\cdot\dfrac{\sqrt{x}\left(x-4\right)}{x+4}\)

\(=\dfrac{x+4}{x-4}\cdot\dfrac{\sqrt{x}\left(x-4\right)}{x+4}=\sqrt{x}\).

Vậy : Với mọi \(x>0,x\ne4\) thì \(B=\sqrt{x}\).

Cho \(x,y\) lần lượt là chiều dài và chiều rộng của thửa ruộng với đơn vị là mét (m) \(\left(x>y>5\right)\).

Nửa chu vi của thửa ruộng là : \(x+y=\dfrac{200}{2}=100\left(1\right)\).

Diện tích của thửa ruộng ban đầu là \(xy\).

Khi tăng chiều dài thêm 5 (m), tức chiều dài là \(x+5\left(m\right)\) và chiều rộng giảm đi 5 (m), tức chiều rộng là \(y-5\left(m\right)\) thì diện tích giảm đi \(75(m^2)\).

Khi đó : \(\left(x+5\right)\left(y-5\right)=xy-75\) hay \(x-y=15\left(2\right)\).

Từ \((1),(2)\), ta có hệ phương trình :

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=100\\x-y=15\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=115\\x+y=100\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=57,5\\y=42,5\end{matrix}\right.\) (thỏa mãn).

Vậy : Diện tích thửa ruộng là \(xy=\left(57,5\right).\left(42,5\right)=2443,75\left(m^2\right)\)