gọi số nhỏ là x, số lớn là y

do liên tiếp ta có y=x+1

Từ gt ta có phương trình: xy-109=x+y

Bài toán tương đướng hệ

\(\left\{\begin{matrix}x,y\in N\left(1\right)\\y=x+1\\xy-109=x+y\left(3\right)\end{matrix}\right.\left(2\right)\)

Thế (2) vào (3)

\(\left(3\right)\Leftrightarrow x\left(x+1\right)-109=x+x+1\)(4)

\(\left(4\right)\Leftrightarrow x^2-x-110=0\) \(\Delta_x=1+4.110=441=21^2\)

\(\left[\begin{matrix}x_1=\frac{1-21}{2}=-10\\x_2=\frac{1+21}{2}=11\end{matrix}\right.\) {x₁ loại do (1)}

Vậy hai số cần tìm là 11 và 12

Bunyacokovski ta có

\(P=\left(x^4+1\right)\left(y^4+1\right)\ge\left(x^2+y^2\right)^2\)

đẳng thức khi \(\frac{x^2}{y^2}=\frac{1^2}{1^2}=1\Rightarrow x^2=y^2\) (1)

Ta cũng có

\(2.\left(x^2+y^2\right)=\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\Rightarrow\left(x^2+y^2\right)\ge2.\left(x+y\right)^2=2.\left(\sqrt{10}\right)^2=20\)

đẳng thức khi : \(\frac{1}{x}=\frac{1}{y}\) (2)

Từ (1) (2)

Kết luận: P_min=20 đạt tại x=y=\(\frac{\sqrt{10}}{2}\)

Từ hằng đẳng thức (a-b)^2=(a^2+b^2-2ab)

áp vào mẫu của A ta có:

\(M=\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\)

\(M=2\left(x^2+y^2+z^2\right)-2\left(xy+xz+yz\right)\) (1)

Ta lại có

\(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+xz+yz\right)\)

mà (x+y+z=0) \(x^2+y^2+z^2=-2\left(xy+xz+yz\right)\) (2)

Từ (1) và (2)

\(M=3\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

do x,y,z khác 0 chia cả tử mẫu cho (x^2+y^2+z^2 khác 0) khác 0

Vậy: \(A=\frac{18}{3}=6\)

Mình đã gặp câu này một lần khi đó đề viết là: " Vô nghiệm x thuộc Z" nếu vô nghiệm thuộc R đơn giản hơn.

Giải:

Phương trình đã cho tương đương

\(\Leftrightarrow\left(mx+1\right)\left(m-3\right)=0\Leftrightarrow\left[\begin{matrix}mx+1=0\left(1\right)\\m-3=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Biện luận:

nếu m=0 \(\Leftrightarrow\left(0x+1\right)\left(0-3\right)=-3=0\) => vô N₀

_{Nếu m khác 0 (1)=> x=1/m luôn có nghiệm}

_{Vậy kết luận để vô nghiệm thì m =0}

\(A=n^2+4n+2017=n^2+4n+4+2013=\left(n+2\right)^2+2013=k^2\)

\(k^2-\left(n+2\right)^2=2013=3.11.61\)

Ta có hệ nghiệm nguyên

\(\left\{\begin{matrix}k-\left(n+2\right)=\left\{1,3,11,...\right\}\\k+\left(n+2=\left\{2013,..\right\}\right)\end{matrix}\right.\)

Trừ cho nhau=>2(n+2)=2n+4= t

với t-4<40

=> chọn cặp 3.11 và 61 ta co t=61-33=28

\(\Rightarrow n=\frac{28-4}{2}=12\)

\(\frac{x+24}{18}=\frac{3x}{50}\Leftrightarrow\frac{x}{18}+\frac{24}{18}=\frac{3x}{50}\Leftrightarrow\left(\frac{3}{50}-\frac{1}{18}\right)x=\frac{24}{18}\)

\(x=\frac{24}{18}:\frac{3.18-50}{50.18}=\frac{24.50.18}{18.4}=50.6=300\)

a) Đặt x^2+2x+2=t

\(\frac{4}{t-1}+\frac{3}{t+1}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow\frac{4t+4+3t-3}{t^2-1}=\frac{7t+1}{t^2-1}=\frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow14t+2=3t^2-3\Leftrightarrow3t^2-14t-5=3t\left(t-5\right)+t-5=0\)\(\Leftrightarrow\left(t-5\right)\left(3t+1\right)=0\Rightarrow\left[\begin{matrix}t=5\\t=-\frac{1}{3}\left(loai\right)\end{matrix}\right.\)

Với t=5 ta có (x+1)^2=4\(\Rightarrow\left[\begin{matrix}x+1=2\\x+1=-2\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix}x=1\\x=-3\end{matrix}\right.\)

\(A=\frac{x^2-2x+2011}{x^2}\)

\(A-\frac{2010}{2011}=\frac{2011\left(x^2-2x+2011\right)-2010x^2}{2011x^2}=\frac{x^2-2.2011x+2011^2}{2011}=\frac{\left(x-2011\right)^2}{2011x^2}\)

\(VP\ge0\Rightarrow A-\frac{2010}{2011}\ge0\Rightarrow A\ge\frac{2010}{2011}\) đẳng thức khi x=2011

b) đặt x^2+2x+2=t => t>0

\(\frac{t-1}{t}+\frac{t}{t+1}=\frac{7}{6}\Leftrightarrow\frac{2t^2-1}{t^2+t}=\frac{7}{6}\Leftrightarrow12t^2-6=7t^2+7t\)

\(\Leftrightarrow5t^2-7t-6=0\Leftrightarrow5t\left(t-2\right)+3t-6=\left(t-2\right)\left(5t+3\right)\Rightarrow\left[\begin{matrix}t=2\\t=\frac{-3}{5}\left(loai\right)\end{matrix}\right.\)

với t=2

\(x^2+2x+2=2\Rightarrow x^2+2x=0\Rightarrow\left[\begin{matrix}x=0\\x=-2\end{matrix}\right.\)

Đặt 8x^2=t => t>=0

\(t^2-9-\left(t-1\right)=54\Leftrightarrow t^2-t+1-9=54\)

\(t^2-t+\frac{1}{4}=54+8+\frac{1}{4}=\frac{249}{4}\) lẻ thế nhỉ

\(\left(t-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{249}{4}\Rightarrow\left[\begin{matrix}t=\frac{1-\sqrt{249}}{2}< 0\left(loai\right)\\t=\frac{1+\sqrt{249}}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix}x< 0\\8x^2=\frac{1+\sqrt{249}}{2}\end{matrix}\right.\Rightarrow x=\frac{-\sqrt{1+\sqrt{249}}}{16}\)