Cho tam giác ABC. Gọi G là trọng tâm tam giác; H là điểm đối xứng của B qua G; M là trung điểm BC. Hãy biểu diễn \(\overrightarrow{MH}\) qua hai vecto \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a};\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}\).
\(\overrightarrow{MH}=\frac{\overrightarrow{b}-5\overrightarrow{a}}{2}\) \(\overrightarrow{MH}=\frac{\overrightarrow{b}-5\overrightarrow{a}}{4}\) \(\overrightarrow{MH}=\frac{\overrightarrow{b}-5\overrightarrow{a}}{6}\) \(\overrightarrow{MH}=\frac{\overrightarrow{b}-5\overrightarrow{a}}{8}\) Hướng dẫn giải:
Từ giả thiết M là trung điểm BC, H đối xứng với B qua G suy ra:
\(\overrightarrow{MH}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MG}=2.\dfrac{1}{3}\overrightarrow{MA}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM}=-\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)=-\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{MH}=-\dfrac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{3}-\overrightarrow{MB}\) (1)
Mặt khác \(\overrightarrow{MB}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CB}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)\), thế vào (1) ta được:
\(\overrightarrow{MH}=-\dfrac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{3}-\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)=\dfrac{\overrightarrow{b}-5\overrightarrow{a}}{6}\)
Vậy \(\overrightarrow{MH}=\dfrac{\overrightarrow{b}-5\overrightarrow{a}}{6}\)