Cho \(A\)là một góc của tam giác. Xét tính đúng sai của các mệnh đều sau
Nếu \(\tan A=\dfrac{4}{3}\) thì \(\sin A=\dfrac{4}{5},\cos A=\dfrac{3}{5}\) Nếu \(\tan A=\dfrac{4}{3}\) thì \(\sin A=-\dfrac{4}{5},\cos A=-\dfrac{3}{5}\) Nếu \(\tan A=-\dfrac{4}{3}\) thì \(\sin A=\dfrac{4}{5},\cos A=\dfrac{3}{5}\) Nếu \(\tan A=-\dfrac{4}{3}\) thì \(\sin A=\dfrac{4}{5},\cos A=-\dfrac{3}{5}\) Hướng dẫn giải:Nếu \(\tan A=\dfrac{4}{3}\) thì A phải là góc nhọn, \(\cos A>0\) nên các mệnh đề " Nếu \(\tan A=\dfrac{4}{3}\) thì \(\sin A=\dfrac{4}{5},\cos A=-\dfrac{3}{5}\) "sai. Nếu \(\tan A=-\dfrac{4}{3}\) thì A phải là góc tù, \(\cos A< 0\) nên mệnh đề " Nếu \(\tan A=-\dfrac{4}{3}\) thì \(\sin A=\dfrac{4}{5},\cos A=\dfrac{3}{5}\) " sai.
Ta có \(1+\tan^2x=1+\dfrac{\sin^2x}{\cos^2x}=\dfrac{\sin^2x+\cos^2x}{\cos^2x}=\dfrac{1}{\cos^2x}\), suy ra \(\cos^2x=\dfrac{1}{1+\tan^2x}\). Do đó, nếu \(\tan A=\pm\dfrac{4}{3}\) thì \(\cos^2A=\dfrac{1}{1+\dfrac{16}{9}}=\dfrac{9}{25}\) và
\(\cos A=\pm\dfrac{3}{5}\). Nếu \(\tan A=\dfrac{4}{3}\) thì A nhọn, \(\cos A=\dfrac{3}{5}\) và \(\sin A=\text{tam}A.\cos A=\dfrac{4}{5}\). Mệnh đề "Nếu \(\tan A=\dfrac{4}{3}\) thì \(\cos A=\dfrac{3}{5},\sin A=\dfrac{4}{5}\) " đúng.
Tương tự, mênh đề "Nếu \(\tan A=-\dfrac{4}{3}\) thì \(\cos A=-\dfrac{3}{5},\sin A=\dfrac{4}{5}\) " cũng đúng.