Cho A là góc của một tam giác. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.
Nếu \(\tan A=2\sqrt{2}\) thì \(\sin A=\dfrac{2\sqrt{2}}{3},\cos A=\dfrac{1}{3}\) Nếu \(\tan A=2\sqrt{2}\) thì \(\sin A=-\dfrac{2\sqrt{2}}{3},\cos A=-\dfrac{1}{3}\) Nếu \(\tan A=2\sqrt{2}\) thì \(\dfrac{3\sin A-\cos A}{\sin A+\cos A}=\dfrac{25-8\sqrt{2}}{7}\) Nếu \(\sin A=\dfrac{2}{3}\) thì \(\dfrac{\cot A-\tan A}{\cot A+\tan A}=\dfrac{1}{9}\) Nếu \(\cos A=\dfrac{2}{3}\)thì \(\dfrac{\tan A-\cot A}{\tan A+\cot A}=\dfrac{1}{9}\) Hướng dẫn giải:a) Nếu \(\tan A=2\sqrt{2}\) thì A là góc nhọn, \(\cos A>0\). Áp dụng công thức \(\cos^2x=\dfrac{1}{1+\tan^2x}\) ta có \(\cos A=\dfrac{1}{\sqrt{1+\tan^2A}}=\dfrac{1}{\sqrt{1+8}}=\dfrac{1}{3}\) và
\(\sin A=\tan A.\cos A=2\sqrt{2}.\dfrac{1}{3}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\).
b) Nếu \(\tan A=2\sqrt{2}\) thì chia cả tử và mẫu của \(\dfrac{3\sin A-\cos A}{\sin A+\cos A}\)cho \(\cos A\) ta có \(\dfrac{3\sin A-\cos A}{\sin A+\cos A}=\dfrac{3\tan A-1}{\tan A+1}=\dfrac{3.2\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}+1}=\dfrac{25-8\sqrt{2}}{7}\).
c) Nếu \(\sin A=\dfrac{2}{3}\) thì nhân cả tử và mẫu của \(\dfrac{\cot A-\tan A}{\cot A+\tan A}\) với \(\sin A\cos A\) ta có \(\dfrac{\cot A-\tan A}{\cot A+\tan A}=\dfrac{\cos^2A-\sin^2A}{\cos^2A+\sin^2A}=1-2\sin^2A=1-\dfrac{8}{9}=\dfrac{1}{9}\)
d) Tương tự, nếu \(\cos A=\dfrac{2}{3}\) thì \(\dfrac{\tan A-\cot A}{\tan A+\cot A}=\dfrac{1}{9}\)
