Ôn tập chương 2: Hàm số bậc nhất

Dễ thấy: \(\left\{{}\begin{matrix}x-\sqrt{x^2+2015}\ne0\\2y-\sqrt{4y^2+2015}\ne0\end{matrix}\right.\)

Ta có:

\(\left(x+\sqrt{x^2+2015}\right)\left(2y+\sqrt{4y^2+2015}\right)=2015\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\sqrt{x^2+2015}\right)\left(\sqrt{x^2+2015}-x\right)\left(2y+\sqrt{4y^2+2015}\right)=2015\left(\sqrt{x^2+2015}-x\right)\)

\(\Leftrightarrow2015\left(2y+\sqrt{4y^2+2015}\right)=2015\left(\sqrt{x^2+2015}-x\right)\)

\(\Leftrightarrow2y+x=\sqrt{x^2+2015}-\sqrt{4y^2+2015}\left(1\right)\)

Tương tự ta có:

\(x+2y=\sqrt{4y^2+2015}-\sqrt{x^2+2015}\left(2\right)\)

Lấy (1) + (2) vế theo vế ta được:

\(2x+4y=0\)

\(\Leftrightarrow x=-2y\)

Thế vào B ta được:

\(B=\dfrac{\left(-2y\right)^2}{2}+4.\left(-2y\right)y+3y^2+\left(-2y\right)+3y+15\)

\(=-3y^2+y+15\)

\(=\dfrac{181}{12}-\left(\sqrt{3}y-\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\right)^2\le\dfrac{181}{12}\)

a) \(\left(p\right):y=-x^2\)

\(\left(d\right):y=-2x-3\)

hình :

b) xét hoành độ giao điểm của (d) và (p)

ta có : \(-x^2=-2x-3\Leftrightarrow-x^2+2x+3=0\)

ta có : \(a-b+c=-1-2+3=0\)

\(\Rightarrow\) phương trình có 2 nghiệm phân biệt

\(x_1=-1\Rightarrow y=-x^2=-\left(-1\right)^2=-1\) ta có : \(A\left(-1;-1\right)\)

\(x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{-3}{-1}=3\Rightarrow y=-x^2=-\left(3\right)^2=-9\) ta có : \(B\left(3;-9\right)\)

c) ta có giao điểm của (p) và (d) là \(\left(-1;-1\right)và\left(3;-9\right)\)

nên ta phải xét 2 trường hợp

th1: độ dài của 2 điểm \(\left(-1;-1\right)và\left(5;-7\right)\)

tính theo công thức ta có : độ dài 2 điểm này là

\(\sqrt{\left(-1-5\right)^2+\left(-1+7\right)^2}=\sqrt{\left(-6\right)^2+\left(6\right)^2}=\sqrt{36+36}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}\)

th2: độ dài của 2 điểm \(\left(3;-9\right)và\left(5;-7\right)\)

tính theo công thức ta có : độ dài 2 điểm này là

\(\sqrt{\left(3-5\right)^2+\left(-9+7\right)^2}=\sqrt{\left(-2\right)^2+\left(-2\right)^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)

vậy độ dài của giao điểm (p) và (d) với \(B\left(5;-7\right)\) là \(6\sqrt{2}\) và \(2\sqrt{2}\)

-2 đồ thị hàm số: y=2x-1 (1) và hàm số :y'=-x+m (2)

-để (1) ,(2) cắt nhau tại một điểm thì y= y'

=>2x-1=-x +m ( *)

-để điểm cắt nhau có hoành độ bằng x=2,thay vào sao ta được:

2.2-1=-2+m =) m=5

Xét phương trình (1) có: \(\Delta=\left(-2\right)^2-4\left(m-1\right)=4-4m+4=8-4m\)

Để phương trình (1) có 2 nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta\ge0\Leftrightarrow8-4m\ge0\Leftrightarrow m\le2\)

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\\x_1.x_2=m-1\end{matrix}\right.\)

Theo đề bài ta có:

\(x_1^2+x_2^2=4m\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=4m\)

\(\Leftrightarrow4-2m+2=4m\)

\(6m=6\Leftrightarrow m=1\)(tmđk)

Vậy để pt có 2 nghiệm \(x_1,x_2\) thỏa mãn \(x_1^2+x_2^2=4m\) thì m=1

a)Ta có phương trình: x² - 2mx + m² -4 =0 (1)

\(\Delta\)=b² -4ac = (-2m)² - 4.1.(m²-4)= 16 > 0 \(\forall\) m

Vậy phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với \(\forall\) m

b) Áp dụng hệ thức Vi-et ,ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=\dfrac{-\left(-2m\right)}{1}=2m\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{m^2-4}{1}=m^2-4\end{matrix}\right.\)

ta có: \(x_1^2\)+\(x^2_2\)=26

\(\Leftrightarrow\)\(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2-26=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2m\right)^2-2\left(m^2-4\right)-26=0\)

\(\Leftrightarrow4m^2-2m^2+8-26=0\)

\(\Leftrightarrow2m^2-18=0\)

\(\Leftrightarrow m^2-9=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=3\\m=-3\end{matrix}\right.\)thì thỏa yêu cầu đề

Vậy \(\left[{}\begin{matrix}m=3\\m=-3\end{matrix}\right.\)

dễ thấy \(\Delta'=4>0\) suy ra pt luôn có 2 no pbiệt

tìm m để \(x^2_1,x_2^2=26\) là sao

áp dụng BĐT AM-GM

\(a^3+b^3+1\ge3ab\Rightarrow\dfrac{1}{a^3+b^3+1}\le\dfrac{1}{3ab}\)

tương tự ta có

\(\dfrac{1}{b^3+c^3+1}\le\dfrac{1}{3bc};\dfrac{1}{a^3+c^3+1}\le\dfrac{1}{3ac}\)

cộng từng vế của BĐT cho nhau

\(C\le\dfrac{1}{3ab}+\dfrac{1}{3bc}+\dfrac{1}{3ac}=\dfrac{a+b+c}{3abc}=\dfrac{a+b+c}{3}\)

mặt khác áp dụng BĐT AM-GM với 3 số a,b,c không âm

\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=3\)

\(\Rightarrow C\le1\)

maxC=1, dấu"=" xảy ra khi a=b=c=1

áp dụng BĐT AM-GM

\(a^3+b^3+1\ge3ab\Rightarrow\dfrac{1}{a^3+b^3+1}\le\dfrac{1}{3ab}\)

tương tự ta có

\(\dfrac{1}{b^3+c^3+1}\le\dfrac{1}{3bc};\dfrac{1}{a^3+c^3+1}\le\dfrac{1}{3ac}\)

cộng các vế của BĐT cho nhau ta có

\(C\le\dfrac{1}{3ab}+\dfrac{1}{3bc}+\dfrac{1}{3ac}=\dfrac{a+b+c}{3abc}=\dfrac{a+b+c}{3}\)

mặt khác ta áp dụng BĐT AM-GM với 3 số a,b,c không âm

\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=1\)

\(\Rightarrow C\le1\Rightarrow Max_C=1\)

dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

x₁ x₂ mà lại có 2mx là sao bạn

Theo mk thì phải là -2mx mới giải được.

Đk để pt có nghiệm thì \(\Delta\ge0\)

\(\Rightarrow m^2-m^2+m-1\ge0\)

\(\Leftrightarrow m\ge1\)

Do x₁ là ng₀ của pt nên:

\(x_1^2-2mx_1+m^2-m+1=0\)

\(\Leftrightarrow x_1^2-2mx_1=-m^2+m-1\)

\(\Rightarrow m^2-m+10=0\)(vô nghiệm)

Vậy ko tìm được m.

Vì đồ thị của hàm số (d) song song với đường thẳng y=-x+2016 nên ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}a=-1\\b\ne2016\end{matrix}\right.\)

Khi đó hàm số (d) y=ax+b có dạng y=-x+b

Vì đồ thi của hàm số (d) đi qua điểm A(1;2) nên ta có:

2=-1+b\(\Rightarrow b=3\) (tmđk)

Vậy hàm số cần tìm có a=-1 và b=3

y=-x+3

Giải:

\(M\) thuộc đường thẳng \(y=3x+4\Rightarrow\) Gọi \(M_{\left(m;3m+4\right)}\)

Khoảng cách từ \(M\) đến \(Ox\) bằng \(\left|3m+4\right|\)

Mà theo đề bài \(\Rightarrow\left|3m+4\right|=2\Leftrightarrow3m+4=\pm2\)

Ta xét 2 trường hợp:

Trường hợp 1: Với \(3m+4=2\Leftrightarrow m=\dfrac{-2}{3}\)

Trường hợp 2: Với \(3m+4=-2\Leftrightarrow m=-2\)

Vậy tọa độ điểm \(M\) là \(M_{\left(\dfrac{-2}{3};2\right)};M_{\left(-2;-2\right)}\)

Vì điểm M nằm trên đường thẳng y= 3x+4 và \(x_M=2\Rightarrow y_M=3.2+4=10\)

Vậy tọa độ điểm \(M_{\left(2;10\right)}\)