Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm tới dây

a: Xét tứ giác ABOC có góc OBA+góc OCA=180 độ

nên OBAC là tứ giác nội tiếp

b: Xét (OA/2) có

góc ACB là góc nội tiếp chắn cung AB

gsóc AOC là góc nội tiếp chắn cung AC

sđ cung AB=sđ cug AC

Do đó góc ACB=góc AOC

c: Xét ΔABE và ΔADB có

góc ABE=góc ADB

góc BAE chung

Do đó: ΔABE đồng dạng với ΔADB

Suy ra: AB/AD=AE/AB

hay \(AB^2=AE\cdot AD\)

Coi lại đề nhé (có tia phân giác trong của góc nào cắt BC) ?

Kẻ OH⊥CD tại H

Xét (O) có

OH là một phần đường kính(gt)

CD là dây(gt)

OH⊥CD tại H(gt)

Do đó: H là trung điểm của CD(Định lí đường kính vuông góc với dây)

⇒\(CH=\dfrac{CD}{2}=\dfrac{5\sqrt{3}}{2}\)(đvđd)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔOCH vuông tại H, ta được:

\(OC^2=OH^2+CH^2\)

\(\Leftrightarrow OH^2=OC^2-CH^2=5^2-\left(\dfrac{5\sqrt{3}}{2}\right)^2=\dfrac{25}{4}\)

hay OH=2,5(đvđd)

Xét ΔOCH vuông tại H có

\(\cos\widehat{COH}=\dfrac{OH}{OC}=\dfrac{2.5}{5}=\dfrac{1}{2}\)

nên \(\widehat{COH}=60^0\)

Xét ΔOCD có OC=OD(=R)

nên ΔOCD cân tại O(Định nghĩa tam giác cân)

Ta có: ΔOCD cân tại O(cmt)

mà OH là đường cao ứng với cạnh đáy CD(gt)

nên OH là đường phân giác ứng với cạnh CD(Định lí tam giác cân)

⇒\(\widehat{COD}=2\cdot\widehat{COH}=2\cdot60^0=120^0\)

Từ O kẻ OH vuông góc với CD

Xét tam giác OCD có: OC = OD = 5 (OC, OD là các bán kính của đường tròn tâm O theo gt)

\(\Rightarrow\) \(\Delta\)OCD cân tại O (dhnb tam giác cân)

Mà OH \(\perp\) CD (cách kẻ)

\(\Rightarrow\) OH là đường trung tuyến của tam giác OCD (t/c tam giác cân)

\(\Rightarrow\) CH = DH = \(\dfrac{5\sqrt{3}}{2}\)

Xét tam giác OHC vuông tại H (OH \(\perp\) CD), theo HTL trong tam giác vuông ta có:

cos OCH = \(\dfrac{CH}{OC}\) = \(\dfrac{5\sqrt{3}}{2}:5\) = \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{OCH}\) = 30^o

Mà \(\widehat{OCH}=\widehat{ODH}\) (\(\Delta\)OCD là tam giác cân tại O)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{OCH}=\widehat{ODH}=30^o\)

Xét tam giác OCD có: \(\widehat{COD}+\widehat{OCD}+\widehat{ODC}=180^o\) (định lý tổng 3 góc trong một tam giác)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{COD}=180^o-\left(\widehat{OCD}+\widehat{ODC}\right)=180^o-\left(30^o+30^o\right)=120^o\)

Vậy ...

Chúc bn học tốt!

Ta có: ΔABC vuông tại A(gt)

mà ΔBAC nội tiếp (O) 

nên O là trung điểm của BC

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔCBD vuông tại B có BA là đường cao ứng với cạnh huyền CD, ta được:

\(CA\cdot CD=CB^2\)

\(\Leftrightarrow CA\cdot CD=\left(2R\right)^2=4R^2\)

Do I là trung điểm AB \(\Rightarrow OI\perp AB\)

\(AI=\dfrac{1}{2}AB=3\)

Trong tam giác vuông OAI, áp dụng Pitago:

\(OI=\sqrt{OA^2-AI^2}=\sqrt{R^2-AI^2}=4\)

\(\Rightarrow IM=OM-OI=R-OI=1\)

\(\Rightarrow AM=\sqrt{AI^2+IM^2}=\sqrt{10}\left(cm\right)\)

b.

Vẫn như trên, ta có: \(AI=\dfrac{1}{2}AB=6\)

Do MN là đường kính \(\Rightarrow\Delta MAN\) vuông tại A

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông MAN với đường cao AI:

\(\dfrac{1}{AI^2}=\dfrac{1}{AN^2}+\dfrac{1}{AM^2}\Rightarrow\dfrac{1}{6^2}=\dfrac{1}{10^2}+\dfrac{1}{AM^2}\Rightarrow AM=\dfrac{15}{2}\)

Áp dụng hệ thức lượng:

\(AI.MN=AN.AM\Leftrightarrow MN=\dfrac{AM.AN}{AI}=\dfrac{25}{2}\)

\(\Rightarrow R=\dfrac{MN}{2}=\dfrac{25}{4}\left(cm\right)\)