Bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Cấm kêu khó hiểu, làm lần lượt từng bước O_O!!!

1) khai triển cả 2 pt ra

2) trừ theo vế 2 pt vừa có được, ta rút được: 2x-2y = -6 <=> x-y = -3

<=> y= x+3 (*)

3) thay y= x+3 vào 1 trong 2 phương trình của hệ (đề cho), được một pt bậc 2 một ẩn

4) giải pt bậc 2 một ẩn đó được x, thay vào (*) tìm được y tương ứng

Đặt xy=a ,\(x^2+y^2\)=b pt trên trở thành

\(\left\{{}\begin{matrix}a^2-a-2=0\\b=a^2\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}a_1=2\\a_2=-1\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}b_1=4\\b_2=1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

ta có 4 trường hợp sau

th1 xy=2;\(x^2+y^2=4\)ta có hệ

\(\left\{{}\begin{matrix}xy=2\\x^2+y^2=4\end{matrix}\right.\)hệ pt trên có 2 nghiệm (\(\sqrt{2};\sqrt{2}\)),(\(-\sqrt{2};-\sqrt{2}\))(1)

th2 xy=2;\(^{x^2+y^2=1}\)ta có hệ

\(\left\{{}\begin{matrix}xy=2\\x^2+y^2=1\end{matrix}\right.\)hệ pt vô nghiệm

th3\(\left\{{}\begin{matrix}xy=-1\\x^2+y^2=4\end{matrix}\right.\)hệ pt có 2 nghiệm (\(\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2};\dfrac{-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\)),(\(\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2};\dfrac{-\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\))(2)

th4\(\left\{{}\begin{matrix}xy=-1\\x^2+y^2=1\end{matrix}\right.\)hệ pt vô nghiệm

từ (1) và(2) suy ra hệ pt trên có 4 nghiệm (-\(\sqrt{2};-\sqrt{2}\)),(\(\sqrt{2};\sqrt{2}\)),(\(\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2};\dfrac{-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\)),(\(\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2};\dfrac{-\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\))

a) \(\left\{{}\begin{matrix}x+3y=11\\2x-y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+3y=11\\6x-3y=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}7x=14\\x+3y=11\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=3\end{matrix}\right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (2; 3)

b) \(3x^4+9x^2-12=0\) (1)

Đặt \(x^2=t\left(t\ge0\right)\)

Phương trình (1) trở thành: \(3t^2+9t-12=0\)

Ta có: \(a+b+c=3+9+\left(-12\right)=0\)

\(\Rightarrow t_1=1\) (Thỏa mãn \(t\ge0\) )

\(t_2=-4\) (Không thỏa mãn \(t\ge0\) )

+) Với \(t=1\) , ta có: \(x^2=1\Leftrightarrow x_1=1;x_2=-1\)

Vậy phương trình có hai nghệm: \(x_1=1;x_2=-1\)

\(=\dfrac{2x}{x\left(a+b\right)}=\dfrac{2}{a+b}\)

Từ \(pt\left(2\right)\Leftrightarrow\left(2x+4y-1\right)^2\left(2x-y-1\right)=\left(4x-2y-3\right)^2\left(x+2y\right)\)

\(\Leftrightarrow-\left(x-3y-1\right)\left(8x^2-8y^2-4x-8y+12xy-1\right)=0\)

tự làm nốt đi (nóng quááááááááááááááá)

2) ĐK: x;y ∈ Z

pt ⇔ \(\left(x-y\right)^2+\left(y-1\right)\left(y-3\right)=0\)

=> I) a) x-y=0 => x=y

b) y-1=0 => y=1 => x=y=1(nhận)

II) a) x-y=0 => x=y

b) y-3=0 => y=3 => x=y=3(nhận)

a. \(\dfrac{\sqrt{12}-\sqrt{27}+\sqrt{48}}{1-\sqrt{5}+\sqrt{9-4\sqrt{5}}}=\dfrac{2\sqrt{3}-3\sqrt{3}+4\sqrt{3}}{1-\sqrt{5}+\sqrt{\left(\sqrt{5}-2\right)^2}}=\dfrac{3\sqrt{3}}{1-\sqrt{5}+\sqrt{5}-2}=-3\sqrt{3}\)

Lời giải:

Ta có: \(x^3-y^3=3(x-y)\)

\(\Leftrightarrow (x-y)(x^2+xy+y^2)=3(x-y)\)

\(\Leftrightarrow (x-y)(x^2+xy+y^2-3)=0\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} x-y=0\\ x^2+xy+y^2-3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x=y\\ x^2+xy+y^2=3\end{matrix}\right.\)

Nếu \(x=y\): Ta có hpt: \(\left\{\begin{matrix} x=y\\ x+y=-1\end{matrix}\right.\Rightarrow x=y=\frac{-1}{2}\)

Nếu \(x^2+xy+y^2=3\). Ta có hpt: \(\left\{\begin{matrix} x^2+xy+y^2=3\\ x+y=-1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+y)^2-xy=3\\ x+y=-1\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} xy=-2\\ x+y=-1\end{matrix}\right.\)

Theo định lý Viete đảo thì $x,y$ là nghiệm của: \(X^2+X-2=0\)

Do đó \((x,y)=(1,-2)\) và hoán vị

Vậy \((x,y)=(\frac{-1}{2}; \frac{-1}{2}); (1;-2); (-2; 1)\)