Một mô hình cầu treo được thiết kế trong không gian Oxyz như Hình 4. Viết phương trình tham số của đường thẳng d biểu diễn làn đường đi qua hai điểm M(4; 3; 20) và N(4; 1000; 20).
Bài 2: Phương trình đường thẳng trong không gian
Vận dụng 1 (SGK Chân trời sáng tạo - Tập 2 - Trang 47)
Thảo luận (1)
Khám phá 5 (SGK Chân trời sáng tạo - Tập 2 - Trang 48)
Cho ba đường thằng
\(d:\left\{{}\begin{matrix}x=4+t\\y=1+2t\\z=1+3t\end{matrix}\right.\) \(d':\left\{{}\begin{matrix}x=2t'\\y=7+4t'\\z=2+6t'\end{matrix}\right.\) và \(\left\{{}\begin{matrix}x=5+2t''\\y=3+4t''\\z-4+6t''\end{matrix}\right.\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Các đường thẳng \(d\), \(d'\) và \(d''\) có các vectơ chỉ phương lần lượt là \(\vec u\left( {1;2;3} \right)\), \(\vec u'\left( {2;4;6} \right)\) và \(\vec u''\left( {2;4;6} \right)\).
Ta có \(\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6}\) nên ba vectơ \(\vec u\), \(\vec u'\) và \(\vec u''\) là các vectơ cùng phương. Suy ra \(d\), \(d'\) và \(d''\) hoặc song song hoặc trùng nhau.
b) Thay hoành độ điểm \(M\) vào phương trình \(x = 2t'\) ta có \(4 = 2t'\), suy ra \(t' = 2\).
Thay \(y = 1\) và \(t' = 2\) vào phương trình \(y = 7 + 4t'\), ta có \(1 = 7 + 4.2\). Điều này là vô lí. Vậy điểm \(M\) không thuộc \(d'\).
Thay hoành độ điểm \(M\) vào phương trình \(x = 5 + 2t''\) ta có \(4 = 5 + 2t''\), suy ra \(t'' = - \frac{1}{2}\).
Thay \(y = 1\), \(z = 1\) và \(t'' = - \frac{1}{2}\) vào các phương trình còn lại của đường thẳng \(d''\), ta có \(\left\{ \begin{array}{l}1 = 3 + 4.\frac{{ - 1}}{2}\\1 = 4 + 6.\frac{{ - 1}}{2}\end{array} \right.\). Các phương trình đều thoả mãn. Vậy điểm \(M\) thuộc \(d''\).
c) Từ các câu a và b, ta có \(d\), \(d'\) và \(d''\) hoặc song song hoặc trùng nhau; điểm \(M\) thuộc \(d\) và \(d''\), \(M\) không thuộc \(d'\). Vậy ta suy ra \(d\parallel d'\) và \(d \equiv d''\).
(Trả lời bởi datcoder)
Thực hành 6 (SGK Chân trời sáng tạo - Tập 2 - Trang 49)
Kiểm tra tính song song hoặc trùng nhau của các cặp đường thẳng sau:
a) \(d:\left\{{}\begin{matrix}x=7+4t\\y=3-2t\\z=2-2t\end{matrix}\right.\) và \(d':\dfrac{x-3}{2}=\dfrac{y-5}{-1}=\dfrac{z-4}{-1}\);
b) \(d:\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z-1}{4}\) và \(d':\dfrac{x-2}{3}=\dfrac{y-9}{3}=\dfrac{z-5}{4}\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( {7;3;2} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec a = \left( {4; - 2; - 2} \right)\).
Đường thẳng \(d'\) có vectơ chỉ phương \(\vec a' = \left( {2; - 1; - 1} \right) = \frac{1}{2}\vec a\).
Thay toạ độ điểm \(M\left( {7;3;2} \right)\) vào phương trình đường thẳng \(d'\) ta có:
\(\frac{{7 - 3}}{2} = \frac{{3 - 5}}{{ - 1}} = \frac{{2 - 4}}{{ - 1}}\). Phương trình thoả mãn, vậy \(M\) thuộc \(d'\). Suy ra \(d \equiv d'\).
b) Đường thẳng \(d\) đi qua \(N\left( {0;0;1} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec a = \left( {3;3;4} \right)\).
Đường thẳng \(d'\) có vectơ chỉ phương \(\vec a' = \left( {3;4;4} \right) = \vec a\).
Thay toạ độ điểm \(N\left( {0;0;1} \right)\) vào phương trình đường thẳng \(d'\) ta có:
\(\frac{{0 - 2}}{3} = \frac{{0 - 9}}{3} = \frac{{1 - 5}}{4}\). Phương trình không thoả mãn, vậy \(N\) không thuộc \(d'\). Suy ra \(d\parallel d'\).
(Trả lời bởi datcoder)
Vận dụng 2 (SGK Chân trời sáng tạo - Tập 2 - Trang 49)
Trên một máy khoan bàn đã thiết lập sẵn một hệ tọa độ. Nêu nhận xét về vị trí giữa trục d của mũi khoan và trục d' của giá đỡ có phương trình lần lượt là:
\(d:\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1\\z=1+t\end{matrix}\right.\) và \(d':\left\{{}\begin{matrix}x=10\\y=20\\z=5+5t'\end{matrix}\right.\).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiTrục \(d\) của mũi khoan đi qua điểm \(M\left( {1;1;1} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec a = \left( {0;0;1} \right)\).
Trục \(d'\) của giá đỡ có vectơ chỉ phương \(\vec a' = \left( {0;0;5} \right) = 5\vec a\).
Thay toạ độ điểm \(M\left( {1;1;1} \right)\) vào phương trình đường thẳng \(d'\) ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}1 = 10\\1 = 20\\1 = 5 + 5t\end{array} \right.\). Điều này là vô lí. Vậy trục của mũi khoan song song với trục của giá đỡ.
(Trả lời bởi datcoder)
Khám phá 6 (SGK Chân trời sáng tạo - Tập 2 - Trang 50)
Cho ba đường thẳng$d:left{begin{array}{l}x1+t y2+3 t ; d^{prime prime} z3-tend{array}:left{begin{array}{l}x2-2 t^{prime} y-2+t^{prime} z1+3 t^{prime}end{array}right.right.$ và $d^{prime prime}:left{begin{array}{l}x2-2 t^{prime prime} y-2+t^{prime prime} z3+3 t^{prime prime}end{array}right.$a) Đường thẳng $mathrm{d}^{prime}$ và đường thẳng $mathrm{d}^{prime prime}$ có song song hay trùng với đường thẳng d không?b) Giải hệ phương trình $left{begin{array}{l}1+t2-2 t^{prime} 2+3 t-2+t^{prime}...
Đọc tiếp
Cho ba đường thẳng
$d:\left\{\begin{array}{l}x=1+t \\ y=2+3 t ; d^{\prime \prime} \\ z=3-t\end{array}:\left\{\begin{array}{l}x=2-2 t^{\prime} \\ y=-2+t^{\prime} \\ z=1+3 t^{\prime}\end{array}\right.\right.$ và $d^{\prime \prime}:\left\{\begin{array}{l}x=2-2 t^{\prime \prime} \\ y=-2+t^{\prime \prime} \\ z=3+3 t^{\prime \prime}\end{array}\right.$
a) Đường thẳng $\mathrm{d}^{\prime}$ và đường thẳng $\mathrm{d}^{\prime \prime}$ có song song hay trùng với đường thẳng d không?
b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}1+t=2-2 t^{\prime} \\ 2+3 t=-2+t^{\prime} \\ 3-t=1+3 t^{\prime}\end{array}\right.$ (ẩn $t$ và t'). Từ đó nhận xét vị trí tương đối giữa d và $\mathrm{d}^{\prime}$.
c) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}1+t=2-2 t^{\prime \prime} \\ 2+3 t=-2+t^{\prime \prime} \\ 3-t=3+3 t^{\prime \prime}\end{array}\right.$ (ẩn $t$ và t"). Từ đó nhận xét vị trí tương đối giữa d và d ".
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Các vectơ chỉ phương của các đường thẳng \(d\), \(d'\) và \(d''\) lần lượt là \(\vec u = \left( {1;3; - 1} \right)\), \(\vec u' = \left( { - 2;1;3} \right)\) và \(\vec u'' = \left( { - 2;1;3} \right)\).
Ta thấy rằng \(\frac{1}{{ - 2}} \ne \frac{3}{1}\), nên vectơ \(\vec u\) không cùng phương với các vectơ \(\vec u'\) và \(\vec u''\).
Suy ra đường thẳng \(d'\) và đường thẳng \(d''\) không song song hay trùng với đường thẳng \(d\).
b) Xét hai phương trình đầu của hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}1 + t = 2 - 2t'\\2 + 3t = - 2 + t'\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t + 2t' = 1\\3t - t' = - 4\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}7t = - 7\\t + 2t' = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = - 1\\t' = 1\end{array} \right..\)
Thay \(t = - 1\) và \(t' = 1\) vào phương trình thứ ba, ta thấy phương trình thoả mãn (do \(4 = 4\)). Vậy \(t = - 1\) và \(t' = 1\) là nghiệm duy nhất của hệ phương trình.
Suy ra hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) có điểm chung, tức chúng cắt nhau.
c) Xét hai phương trình đầu của hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}1 + t = 2 - 2t'\\2 + 3t = - 2 + t'\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t + 2t' = 1\\3t - t' = - 4\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}7t = - 7\\t + 2t' = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = - 1\\t' = 1\end{array} \right..\)
Thay \(t = - 1\) và \(t' = 1\) vào phương trình thứ ba, ta thấy phương trình không thoả mãn (do \(4 \ne 6\)). Vậy hệ phương trình vô nghiệm.
Suy ra hai đường thẳng \(d\) và \(d''\) không có điểm chung, tức chúng chéo nhau.
(Trả lời bởi datcoder)
Thực hành 7 (SGK Chân trời sáng tạo - Tập 2 - Trang 51)
Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng d và d' trong mỗi trường hợp sau.
a) $d:\left\{\begin{array}{l}x=2 t \\ y=1-t \\ z=2-3 t\end{array}\right.$ và $d^{\prime}: \frac{x-2}{4}=\frac{y}{7}=\frac{z+1}{11}$;
b) $d: \frac{x-4}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{2}$ và $d^{\prime}: \frac{x-2}{3}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{9}$.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( {0;1;2} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\vec a = \left( {2; - 1; - 3} \right)\).
Đường thẳng \(d'\) đi qua \(M'\left( {2;0; - 1} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\vec a' = \left( {4;7;11} \right)\).
Ta có \(\left[ {\vec a,\vec a'} \right] = \left( {10; - 34;18} \right)\) và \(\overrightarrow {MM'} = \left( {2; - 1; - 3} \right)\)
Suy ra \(\left[ {\vec a,\vec a'} \right].\overrightarrow {MM'} = 10.2 + \left( { - 34} \right)\left( { - 1} \right) + 18.\left( { - 3} \right) = 0\).
Vậy hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) cắt nhau.
b) Đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( {4;1;1} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\vec a = \left( {1;2;2} \right)\).
Đường thẳng \(d'\) đi qua \(M'\left( {2;1;1} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\vec a' = \left( {3;2;9} \right)\).
Ta có \(\left[ {\vec a,\vec a'} \right] = \left( {14; - 3; - 4} \right)\) và \(\overrightarrow {MM'} = \left( { - 2;0;0} \right)\)
Suy ra \(\left[ {\vec a,\vec a'} \right].\overrightarrow {MM'} = 14.\left( { - 2} \right) + \left( { - 3} \right).0 + \left( { - 4} \right).0 = - 28 \ne 0.\)
Vậy hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) chéo nhau.
(Trả lời bởi datcoder)
Vận dụng 3 (SGK Chân trời sáng tạo - Tập 2 - Trang 52)
Trên phần mềm thiết kế chiếc cầu treo, cho đường thẳng d trên trụ cầu và đường thẳng d trên sàn cầu có phương trình lần lượt là: d:left{{}begin{matrix}x0y0z50+tend{matrix}right. và d:left{{}begin{matrix}x20ytz50end{matrix}right..
Đọc tiếp
Trên phần mềm thiết kế chiếc cầu treo, cho đường thẳng d trên trụ cầu và đường thẳng d' trên sàn cầu có phương trình lần lượt là: \(d:\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=0\\z=50+t\end{matrix}\right.\) và \(d':\left\{{}\begin{matrix}x=20\\y=t'\\z=50\end{matrix}\right.\).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiĐường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( {0;0;50} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\vec a = \left( {0;0;1} \right)\).
Đường thẳng \(d'\) đi qua \(M'\left( {20;0;50} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\vec a' = \left( {0;1;0} \right)\).
Ta có \(\left[ {\vec a,\vec a'} \right] = \left( { - 1;0;0} \right)\) và \(\overrightarrow {MM'} \left( {20;0;0} \right)\).
Suy ra \(\left[ {\vec a,\vec a'} \right].\overrightarrow {MM'} = \left( { - 1} \right).20 + 0.0 + 0.0 = - 20 \ne 0.\)
Vậy hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) chéo nhau.
(Trả lời bởi datcoder)
Khám phá 7 (SGK Chân trời sáng tạo - Tập 2 - Trang 52)
Cho hai đường thẳng d: left{{}begin{matrix}x4+ty1+2tz1-tend{matrix}right. và d:left{{}begin{matrix}xty7+4tz9tend{matrix}right..a) Tìm vectơ chỉ phương overrightarrow{a} và overrightarrow{a} lần lượt của d và d.b) Tính tích vô hướng overrightarrow{a}.overrightarrow{a}. Từ đó, có nhận xét gì về hai đường thẳng d và d?
Đọc tiếp
Cho hai đường thẳng d: \(\left\{{}\begin{matrix}x=4+t\\y=1+2t\\z=1-t\end{matrix}\right.\) và \(d':\left\{{}\begin{matrix}x=t'\\y=7+4t'\\z=9t'\end{matrix}\right.\).
a) Tìm vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{a'}\) lần lượt của d và d'.
b) Tính tích vô hướng \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a'}\). Từ đó, có nhận xét gì về hai đường thẳng d và d'?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {1;2; - 1} \right)\).
Đường thẳng \(d'\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a' = \left( {1;4;9} \right)\).
b) Ta có \(\vec a.\vec a' = 1.1 + 2.4 + \left( { - 1} \right).9 = 0\). Suy ra hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec a'\) có giá vuông góc với nhau. Vậy hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) vuông góc với nhau.
(Trả lời bởi datcoder)
Thực hành 8 (SGK Chân trời sáng tạo - Tập 2 - Trang 53)
Kiểm tra tính vuông góc của các cặp đường thẳng sau:
a) \(d:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y+1}{-3}=\dfrac{z}{1}\) và \(d':\left\{{}\begin{matrix}x=-2+t\\y=t\\z=-6+2t\end{matrix}\right.\)l
b) \(d:\dfrac{x+2}{7}=\dfrac{y+1}{3}=\dfrac{z+1}{1}\) và \(d':\dfrac{x+2}{2}=\dfrac{y-5}{2}=\dfrac{z-5}{2}\).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {1; - 3;1} \right)\).
Đường thẳng \(d'\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a' = \left( {1;1;2} \right)\).
Ta có \(\vec a.\vec a' = 1.1 + \left( { - 3} \right).1 + 1.2 = 0.\)
Vậy hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) vuông góc với nhau.
b) Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {7;3;1} \right)\).
Đường thẳng \(d'\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a' = \left( {2;2;2} \right)\).
Ta có \(\vec a.\vec a' = 7.2 + 3.2 + 2.2 = 24 \ne 0.\)
Vậy hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) không vuông góc với nhau.
(Trả lời bởi datcoder)
Vận dụng 4 (SGK Chân trời sáng tạo - Tập 2 - Trang 53)
Một phần mềm mô phỏng vận động viên đang tập bắn súng trong không gian Oxyz. Cho biết trục d của nòng súng và cọc đỡ bia d có phương trình lần lượt là:d:left{{}begin{matrix}xty20z9end{matrix}right. và left{{}begin{matrix}x10y20z1+3tend{matrix}right..Xét vị trí tương đối giữa d và d, chúng có vuông góc với nhau không?
Đọc tiếp
Một phần mềm mô phỏng vận động viên đang tập bắn súng trong không gian Oxyz. Cho biết trục d của nòng súng và cọc đỡ bia d' có phương trình lần lượt là:\(d:\left\{{}\begin{matrix}x=t\\y=20\\z=9\end{matrix}\right.\) và \(\left\{{}\begin{matrix}x=10\\y=20\\z=1+3t'\end{matrix}\right.\).
Xét vị trí tương đối giữa d và d', chúng có vuông góc với nhau không?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiTrục \(d\) của nòng súng có một vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {1;0;0} \right)\).
Cọc đỡ bia \(d'\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a' = \left( {0;0;3} \right).\)
Ta có \(\vec a.\vec a' = 1.0 + 0.0 + 0.3 = 0.\)
Vậy \(d\) và \(d'\) vuông góc với nhau.
Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}t = 10\\20 = 20\\9 = 1 + 3t'\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 10\\t' = \frac{8}{3}\end{array} \right.\).
Hệ phương trình có một nghiệm duy nhất, do đó \(d\) cắt \(d'.\)
(Trả lời bởi datcoder)