Bài 2: Phương trình đường thẳng trong không gian

Hướng dẫn giải

a) Góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) là góc giữa hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\) cùng đi qua một điểm và tương ứng song song (hoặc trùng) với \(d\) và \(d'\).

b) Ta có \(\vec b = \left( { - 2; - 1; - 3} \right) =  - \vec a\) nên \(\vec b\) cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\).

c) Do \(\vec a\) và \(\vec a'\) lần lượt là các vectơ chỉ phương của \(d\) và \(d'\), nên ta có \(\cos \left( {d,d'} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec a'} \right)} \right|\).

Ta có \(\vec a\) và \(\vec b\) là hai vectơ đối nhau, nên ta có \(\left( {\vec a,\vec a'} \right)\) và \(\left( {\vec b,\vec a'} \right)\) là hai góc bù nhau. Suy ra \(\left| {\cos \left( {\vec a,\vec a'} \right)} \right| = \left| {\cos \left( {\vec b,\vec a'} \right)} \right|\).

Như vậy \(\cos \left( {d,d'} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec a'} \right)} \right| = \left| {\cos \left( {\vec b,\vec a'} \right)} \right|\).

d) Từ câu c, ta có côsin của góc giữa hai đường thẳng trong không gian là giá trị tuyệt đối của côsin của góc giữa hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó.

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {3;5;4} \right)\).

Đường thẳng \(d'\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a' = \left( {2;5; - 4} \right)\).

Ta có \(\cos \left( {d,d'} \right) = \frac{{\left| {3.2 + 5.5 + 4.\left( { - 4} \right)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {5^2} + {4^2}} .\sqrt {{2^2} + {5^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\).

Suy ra \(\left( {d,d'} \right) \approx {71^o}34'\).

b) Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {3;6;6} \right)\).

Đường thẳng \(d'\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a' = \left( { - 10; - 10;5} \right)\).

Ta có \(\cos \left( {d,d'} \right) = \frac{{\left| {3.\left( { - 10} \right) + 6.\left( { - 10} \right) + 6.5} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {6^2} + {6^2}} .\sqrt {{{\left( { - 10} \right)}^2} + {{\left( { - 10} \right)}^2} + {5^2}} }} = \frac{4}{9}\).

Suy ra \(\left( {d,d'} \right) \approx {63^o}37'\).

c) Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {2;1; - 5} \right)\).

Đường thẳng \(d'\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a' = \left( {1;1;1} \right)\).

Ta có \(\cos \left( {d,d'} \right) = \frac{{\left| {2.1 + 1.1 + \left( { - 5} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt {10} }}{{15}}\).

Suy ra \(\left( {d,d'} \right) \approx {77^o}50'\).

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Tia sáng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {2;1; - 1} \right)\).

Tia sáng \(d'\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a' = \left( {3;3;9} \right)\).

Ta có \(\cos \left( {d,d'} \right) = \frac{{\left| {2.3 + 1.3 + \left( { - 1} \right).9} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{3^2} + {3^2} + {9^2}} }} = 0\).

Suy ra \(\left( {d,d'} \right) = {90^o}\).

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Nếu đường thẳng \(a\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì góc giữa đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \({90^o}\).

Nếu đường thẳng \(a\) không vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì góc giữa đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) là góc giữa đường thẳng \(a\) và hình chiếu \(a'\) của \(a\) trên \(\left( P \right).\)

b) Nhìn vào hình vẽ, ta thấy rằng hai góc \(\alpha \) và \(\beta \) có tổng số đo là \({90^o}.\)

c) Do \(\alpha  + \beta  = {90^o}\) nên ta có \(\sin \alpha  = \cos \beta .\)

Ta có \(d'\) là hình chiếu vuông góc của \(d\) lên \(\left( P \right)\), nên \(\alpha  = \left( {d,d'} \right) = \left( {d,\left( P \right)} \right).\)

Ta có \(\beta  = \left( {\Delta ,d} \right)\) nên \(\cos \beta  = \cos \left( {\Delta ,d} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right|\). (Vì \(\vec a\) và \(\vec n\) lần lượt là các vectơ chỉ phương của các đường thẳng \(d\) và \(\Delta \)).

Mà \(\sin \alpha  = \cos \beta \) nên \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right|.\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\vec a = \left( {3;1; - 2} \right)\).

Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\vec n = \left( {6;2; - 4} \right)\).

Ta có \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {3.6 + 1.2 + \left( { - 2} \right).\left( { - 4} \right)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{6^2} + {2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 1\).

Suy ra \(\left( {d,\left( P \right)} \right) = {90^o}\).

b) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\vec a = \left( {2;4;2} \right)\).

Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\vec n = \left( {2;2; - 4} \right)\).

Ta có \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {2.2 + 4.2 + 2.\left( { - 4} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {4^2} + {2^2}} .\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{1}{6}\).

Suy ra \(\left( {d,\left( P \right)} \right) \approx {9^o}36'\).

c) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\vec a = \left( {4;4;2} \right).\)

Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\vec n = \left( {0;2; - 4} \right).\)

Ta có \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {4.0 + 4.2 + 2.\left( { - 4} \right)} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {4^2} + {2^2}} .\sqrt {{0^2} + {2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 0.\)

Suy ra \(\left( {d,\left( P \right)} \right) = {0^o}.\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Một vectơ chỉ phương của tia sáng \(d\) là \(\vec a = \left( {0;1;1} \right)\).

Một vectơ pháp tuyến của mặt sân khấu \(\left( P \right)\) là

\(\vec n = \left( {0;0;1} \right).\)

Ta có \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {0.0 + 1.0 + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2} + {1^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)

Suy ra \(\left( {d,\left( P \right)} \right) = {45^o}.\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) là góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\), nên suy ra \(\left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = \left( {d,d'} \right).\)

Như vậy \(\cos \left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = \cos \left( {d,d'} \right) = \left| {\cos \left( {\vec n,\vec n'} \right)} \right|\). (Do \(\vec n\) và \(\vec n'\) lần lượt là các vectơ chỉ phương của các đường thẳng \(d\) và \(d'.\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) có các vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\vec n = \left( {3;7; - 1} \right)\) và \(\vec n' = \left( {1;1; - 10} \right).\)

Ta có \(\cos \left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = \frac{{\left| {3.1 + 7.1 + \left( { - 1} \right).\left( { - 10} \right)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {7^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 10} \right)}^2}} }} = \frac{{20}}{{\sqrt {6018} }}.\)

Suy ra \(\left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) \approx {75^o}3'.\)

b) \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) có các vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\vec n = \left( {1;1; - 2} \right)\) và \(\vec n' = \left( {3; - 5;1} \right).\)

Ta có \(\cos \left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = \frac{{\left| {1.3 + 1.\left( { - 5} \right) + \left( { - 2} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{2\sqrt {210} }}{{105}}\).

Suy ra \(\left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) \approx {73^o}59'.\)

c) \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) có các vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\vec n = \left( {1;0;1} \right)\) và \(\vec n' = \left( {0;3;3} \right).\)

Ta có \(\cos \left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = \frac{{\left| {1.0 + 0.3 + 1.3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2} + {1^2}} .\sqrt {{0^2} + {3^2} + {3^2}} }} = \frac{1}{2}.\)

Suy ra \(\left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = {30^o}.\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Ta có \(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {1;0;0} \right)\), \(D\left( {0;5;0} \right)\), \(A'\left( {0;0;3} \right)\), suy ra \(C\left( {1;5;0} \right).\)

Suy ra \(\overrightarrow {AC}  = \left( {1;5;0} \right)\) và \(\overrightarrow {BA'}  = \left( { - 1;0;3} \right).\)

Ta có \(\cos \left( {AC,BA'} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BA'} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.\left( { - 1} \right) + 5.0 + 0.3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {5^2} + {0^2}} .\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2} + {3^2}} }} = \frac{{\sqrt {65} }}{{130}}\).

Vậy \(\left( {AC,BA'} \right) \approx {86^o}27'.\)

b) Ta có \(BB' \bot AC\) và \[DB \bot AC\] nên \(\overrightarrow {AC}  = \left( {1;5;0} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {BB'D'D} \right).\)

Ta có \(CC' \bot BD\) và \[AC \bot BD\] nên \(\overrightarrow {BD}  = \left( { - 1;5;0} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {AA'C'C} \right).\)

Như vậy,

\(\cos \left( {\left( {BB'D'D} \right),\left( {AA'C'C} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {AC} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.\left( { - 1} \right) + 5.5 + 0.0} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {5^2} + {0^2}} \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {5^2} + {0^2}} }} = \frac{{12}}{{13}}.\)

Suy ra \(\left( {\left( {BB'D'D} \right),\left( {AA'C'C} \right)} \right) \approx {22^o}37'\).

c) Ta có \(C'\left( {1;5;3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AC'}  = \left( {1;5;3} \right).\)

Ta có \(B\left( {1;0;0} \right)\), \(D\left( {0;5;0} \right)\), \(A'\left( {0;0;3} \right)\). Suy ra mặt phẳng \(\left( {A'BD} \right)\) có một cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {A'B} \left( {1;0; - 3} \right)\) và \(\overrightarrow {A'D} \left( {0;5; - 3} \right)\). Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {A'BD} \right)\) là \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right] = \left( {15;3;5} \right).\)

Ta có \(\sin \left( {AC',\left( {A'BD} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AC'} ,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {1.15 + 5.3 + 3.5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {5^2} + {3^2}} .\sqrt {{{15}^2} + {3^2} + {5^2}} }} = \frac{{9\sqrt {185} }}{{259}}.\)

Suy ra \(\left( {AC',\left( {A'BD} \right)} \right) \approx {28^o}12'.\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng nghiêng \(\left( P \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  = \left( {4;0;11} \right).\)

Mặt sàn \(\left( Q \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}}  = \left( {0;0;1} \right).\)

Ta có \(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ,\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {4.0 + 0.0 + 11.1} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {0^2} + {{11}^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{{11}}{{\sqrt {137} }}.\)

Suy ra \(\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) \approx {19^o}59'.\)

(Trả lời bởi datcoder)