- Theo giả thiết nên áp dụng bất đẳng thức Cô si ta được
, (đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi )
- Tương tự , (đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi )
- Từ đó
- Giả thiết tương đương với (*)
- Do đó
- Mà nên (do giả thiết ).
- Vì vậy
GTNN là đạt khi và chỉ khi
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a^4+b^2+2ab^2\ge2\sqrt{a^4b^2}+2ab^2=2a^2b+2ab^2\)
\(b^4+a^2+2a^2b\ge2\sqrt{a^2b^4}+2a^2b=2ab^2+2a^2b\)
\(\Rightarrow Q\le\dfrac{1}{2a^2b+2ab^2}+\dfrac{1}{2ab^2+2a^2b}\)
Lại có: \(\left(a+b\right)\left(a+b-1\right)=a^2+b^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab-a+b^2-b=a^2+b^2\)
\(\Leftrightarrow2ab=a+b\ge2\sqrt{ab}\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ab\ge1\\a+b\ge2\sqrt{ab}\ge2\end{matrix}\right.\)
Khi đó \(Q\le\dfrac{1}{2a^2b+2ab^2}+\dfrac{1}{2ab^2+2a^2b}\le\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=1\)
- Theo giả thiết a,b>0 nên áp dụng bất đẳng thức Cô si ta được
a^4+b^2\ge2a^2b\Rightarrow a^4+2ab^2+b^2\ge2a^2b+2ab^2
\Rightarrow a^4+2ab^2+b^2\ge2ab\left(a+b\right)
\Rightarrow\frac{1}{a^4+2ab^2+b^2}\le\frac{1}{2ab\left(a+b\right)}, (đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b)
- Tương tự \frac{1}{a^2+2a^2b+b^4}\le\frac{1}{2ab\left(a+b\right)} , (đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b)
- Từ đó Q\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)}
- Giả thiết \left(a+b\right)\left(a+b-1\right)=a^2+b^2 tương đương với a+b=2ab\Leftrightarrow ab=\frac{a+b}{2}(*)
- Do đó Q\le\frac{2}{\left(a+b\right)^2}
- Mà ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4} nên \frac{a+b}{2}\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\Rightarrow a+b\ge2 (do giả thiết a,b>0 ).
- Vì vậy Q\le\frac{2}{2^2}
GTNN là \frac{1}{2} đạt khi và chỉ khi \left\{{}\begin{matrix}a=b\\a+b=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=1
Cô/thầy là quản lý phải không ạ?
Cho con hỏi 1 chút ạ, mình được bao nhiêu điểm hỏi đáp thì mới được có thưởng ạ?
Con cảm ơn cô/thầy