Question

(Yên Bái)

Cho \(a,b\)  là hai số dương thỏa mãn điều kiện  \(\left(a+b\right)\left(a+b-1\right)=a^2+b^2\). Tìm GTLN của biểu thức  \(Q=\frac{1}{a^4+2ab^2+b^2}+\frac{1}{a^2+2a^2b+b^4}\).

Answer 1

- Theo giả thiết  $a,b>0$  nên áp dụng bất đẳng thức Cô si ta được

                a^4+b^2\ge2a^2b\Rightarrow a^4+2ab^2+b^2\ge2a^2b+2ab^2a4+b2≥2a2b⇒a4+2ab2+b2≥2a2b+2ab2

                                                 \Rightarrow a^4+2ab^2+b^2\ge2ab\left(a+b\right)⇒a4+2ab2+b2≥2ab(a+b)

                                                 \Rightarrow\frac{1}{a^4+2ab^2+b^2}\le\frac{1}{2ab\left(a+b\right)}⇒a4+2ab2+b21​≤2ab(a+b)1​,  (đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b$)

- Tương tự                                   \frac{1}{a^2+2a^2b+b^4}\le\frac{1}{2ab\left(a+b\right)}a2+2a2b+b41​≤2ab(a+b)1​    ,    (đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  $a=b$)

- Từ đó      Q\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)}Q≤ab(a+b)1​

- Giả thiết  \left(a+b\right)\left(a+b-1\right)=a^2+b^2(a+b)(a+b−1)=a2+b2 tương đương với a+b=2ab\Leftrightarrow ab=\frac{a+b}{2}a+b=2ab⇔ab=2a+b​(*)

- Do đó      Q\le\frac{2}{\left(a+b\right)^2}Q≤(a+b)22​

  - Mà      ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}ab≤4(a+b)2​    nên   \frac{a+b}{2}\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\Rightarrow a+b\ge22a+b​≤4(a+b)2​⇒a+b≥2  (do giả thiết  $a,b>0$ ).

- Vì vậy   Q\le\frac{2}{2^2}Q≤222​ 

GTNN  là  \frac{1}{2}21​ đạt khi và chỉ khi \left\{{}\begin{matrix}a=b\\a+b=2\end{matrix}\right.{a=ba+b=2​$\iff a=b=1$

   

Answer 2

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(a^4+b^2+2ab^2\ge2\sqrt{a^4b^2}+2ab^2=2a^2b+2ab^2\)

\(b^4+a^2+2a^2b\ge2\sqrt{a^2b^4}+2a^2b=2ab^2+2a^2b\)

\(\Rightarrow Q\le\dfrac{1}{2a^2b+2ab^2}+\dfrac{1}{2ab^2+2a^2b}\)

Lại có: \(\left(a+b\right)\left(a+b-1\right)=a^2+b^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab-a+b^2-b=a^2+b^2\)

\(\Leftrightarrow2ab=a+b\ge2\sqrt{ab}\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ab\ge1\\a+b\ge2\sqrt{ab}\ge2\end{matrix}\right.\)

Khi đó \(Q\le\dfrac{1}{2a^2b+2ab^2}+\dfrac{1}{2ab^2+2a^2b}\le\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=1\)

Answer 3

- Theo giả thiết  a,b>0a,b>0  nên áp dụng bất đẳng thức Cô si ta được

                a^4+b^2\ge2a^2b\Rightarrow a^4+2ab^2+b^2\ge2a^2b+2ab^2a4+b2≥2a2b⇒a4+2ab2+b2≥2a2b+2ab2

                                                 \Rightarrow a^4+2ab^2+b^2\ge2ab\left(a+b\right)⇒a4+2ab2+b2≥2ab(a+b)

                                                 \Rightarrow\frac{1}{a^4+2ab^2+b^2}\le\frac{1}{2ab\left(a+b\right)}⇒a4+2ab2+b21​≤2ab(a+b)1​,  (đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=ba=b)

- Tương tự                                   \frac{1}{a^2+2a^2b+b^4}\le\frac{1}{2ab\left(a+b\right)}a2+2a2b+b41​≤2ab(a+b)1​    ,    (đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  a=ba=b)

- Từ đó      Q\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)}Q≤ab(a+b)1​

- Giả thiết  \left(a+b\right)\left(a+b-1\right)=a^2+b^2(a+b)(a+b−1)=a2+b2 tương đương với a+b=2ab\Leftrightarrow ab=\frac{a+b}{2}a+b=2ab⇔ab=2a+b​(*)

- Do đó      Q\le\frac{2}{\left(a+b\right)^2}Q≤(a+b)22​

  - Mà      ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}ab≤4(a+b)2​    nên   \frac{a+b}{2}\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\Rightarrow a+b\ge22a+b​≤4(a+b)2​⇒a+b≥2  (do giả thiết  a,b>0a,b>0 ).

- Vì vậy   Q\le\frac{2}{2^2}Q≤222​ 

GTNN  là  \frac{1}{2}21​ đạt khi và chỉ khi \left\{{}\begin{matrix}a=b\\a+b=2\end{matrix}\right.{a=ba+b=2​\Leftrightarrow a=b=1⇔a=b=1

Cô/thầy là quản lý phải không ạ?

Cho con hỏi 1 chút ạ, mình được bao nhiêu điểm hỏi đáp thì mới được có thưởng ạ?

Con cảm ơn cô/thầy