Question

Xét tích 11 TS :

A= (5a+2006b)(6a+2005b)(7a+2004b)...(15a+1996b)

với a>b ,a,b là các số tự nhiên 

CMR : Nếu A chia hết cho 2011 thì A chia hết cho 2011¹¹

Answer 1

Để chứng minh rằng nếu A chia hết cho 2011 thì A cũng sẽ chia hết cho 2011^11, ta sẽ xét phần dư của A khi chia cho 2011.

Ta có A = (5a + 2006b)(6a + 2005b)(7a + 2004b)...(15a + 1996b)
Gọi B = a + 2007b, ta có A = (5B)(6B - B)(7B - 2B)...(15B - 10B) = 5*6*7*...*15 * B^11

Vì A chia hết cho 2011, suy ra B^11 chia hết cho 2011, nghĩa là B chia hết cho 2011.

Do đó, B = 2011k với k là số nguyên dương.

Từ đó, ta có A = 5*6*7*...*15 * (2011k)^11 = (5*6*7*...*15)*(2011^11)*k^11

Vì 5*6*7*...*15 chia hết cho 2011 nên A chia hết cho 2011^11.

Vậy nếu A chia hết cho 2011 thì A cũng chia hết cho 2011^11.