Question

Xét các số thực dương a,b,c thoả mãn đk a+b+c=1

Tìm GTNN của biểu thức:
\(P=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\)

Answer 1

Áp dụng Bđt \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)ta có:

\(P\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}\)

Lại có:

\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}\)

\(\ge\frac{9}{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)}=9\)

Mặt khác \(ab+bc+ca\le\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2=\frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{ab+bc+ca}\ge3\)\(\Rightarrow P_{Min}=30\)

Dấu = khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)