Không mất tính tổng quát, ta cho \(x\ge y\ge z\). Ta giả sử \(y-z\ge1\). Khi đó \(x-z\ge1\).
Đặt \(a^2=3^x+3^y+3^z\left(1\right)\).
Từ (1), kết hợp giả thiết ta giả sử, ta có \(a^2⋮3^z\).
\(\left(1\right)\Rightarrow\dfrac{a^2}{3^z}=1+3^{y-z}+3^{x-z}\left(2\right)\).
Để ý vế trái là một số nguyên, vế phải cũng là số nguyên nhưng không chia hết cho 3 (theo giả thiết ta giả sử), do đó \(a^2⋮̸3^{z+1}\). Suy ra z là số nguyên dương lớn nhất để \(a^2⋮3^{\alpha}\). Mặt khác a2 là số chính phương nên z chẵn.
\(\Rightarrow3^z\equiv1\left(mod4\right)\).
Dễ thấy a2 là số lẻ nên a cũng là số lẻ. Do đó \(a^2\equiv1\left(mod4\right)\).
Ta thấy, \(3^x,3^y\) chia 4 chỉ có thể dư 1 hoặc 3. Mặt khác \(\left(3^x+3^y+3^z\right)\) chia 4 dư 1, nên trong 2 số 3x,3y , có 1 số chia 3 dư 1 và 1 số chia 3 dư 2.
\(\Rightarrow\)x,y không cùng tính chẵn lẻ. Không mất tính tổng quát giả sử x chẵn, y lẻ.
Do a là số lẻ nên \(a^2\equiv1\left(mod8\right)\) (*). Mặt khác ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}3^x\equiv1\left(mod8\right)\\3^y\equiv3\left(mod8\right)\\3^z\equiv1\left(mod8\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow3^x+3^y+3^z\equiv5\left(mod8\right)\) , trái với (*).
Vậy điều giả sử là sai. Do đó \(y-z< 1\Rightarrow y=z\).
Lập luận tương tự, ta cũng suy ra \(x-z< 1\Rightarrow x=z\)
Vậy \(x=y=z\)
