Question

Xây dựng công thức tính tổng của

D= 1² + 3² + 5² + ... + (2n + 1)² ( n thuộc N^*)

Answer 1

Số số hạng của D:(2n+1-1):2+1=n+1(số hạng)

=>D-n-1=1²-1+3²-1+5²-1+...+(2n+1)²-1

=(3-1)(3+1)+(5-1)(5+1)+...+(2n+1-1)(2n+1+1)

=2.4+4.6+...+2n.(2n+2)

=>6(D-n-1)=2.4.(6-0)+4.6.(8-2)+...+2n.(2n+2)(2n+4-2n-2)

=-0.2.4+2.4.6-2.4.6+4.6.8-...-(2n-2)2n(2n+2)+2n(2n+2)(2n+4)

=2n(2n+2)(2n+4)

=>D-n-1=\(\dfrac{2n\left(2n+2\right)\left(2n+4\right)}{6}=\dfrac{4n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}\)

=>D=\(\dfrac{4n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}+\left(n+1\right)=\dfrac{4n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+3\left(n+1\right)}{3}=\dfrac{\left(n+1\right)\left(4n^2+8n+3\right)}{3}\)