Question

Cho N là tổng của hai số chính phương. CMR

a) 2N cũng là tổng của 2 số chính phương

b) \(N^2\) cũng là tổng của 2 số chính phương

Answer 1

a. Ta có N là tổng của 2 số chính phương

Ta được: \(N=a^2+b^2\)

\(\Leftrightarrow2N=2\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow2N=2a^2+2b^2\)

\(\Leftrightarrow2N=a^2+a^2+2ab-2ab+b^2+b^2\)

\(\Leftrightarrow2N=\left(a^2+2ab+b^2\right)+\left(a^2-2ab+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow2N=\left(a+b\right)^2+\left(a-b\right)^2\left(đpcm\right)\)

Answer 2

b. N là tổng 2 số chính phương

\(\Rightarrow N^2=\left(a^2+b^2\right)^2\)

\(\Leftrightarrow N^2=a^4+2a^2b^2+b^4\)

\(\Leftrightarrow N^2=a^4-2a^2b^2+b^4+4a^2b^2\)

\(\Leftrightarrow N^2=\left(a^2-b^2\right)^2+\left(2ab\right)^2\) (đpcm)