ax^3 + bx^2 + 5x - 50= (x^2 + 3x - 10)(ax+b-3)+(5+10a-3b-9a)x-50+10b-30a
dể ax^3 + bx^2 + 5x - 50 chia hết cho x^2 + 3x - 10
=>(5+10a-3b-9a)x-50+10b-30a =0
<=>{5+a-3b=0
{-50+10b-30a =0
<=>{a=-5/4
{b=5/4
Cách 1 : Đặt tính chia theo đa thức 1 biến đã sắp xếp .
Cách 2 :
Xét \(ax^3+bx^2+5x-50\)
\(=\left(x+5\right)\left(x-2\right).Q_x\) lần lượt cho
\(x=-5\)
và \(x=2\)
Ta có được :
\(\hept{\begin{cases}-125a+25b=75\\8a+4b=40\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}-5a+b=3\\2a+b=10\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=8\end{cases}}\)
Ta có \(\left(ax^3+bx^2+5x-50\right)⋮\left(x^2+3x-10\right)\)
=> Tồn tại đa thức Q (x) sao cho \(ax^3+bx^2+5x-50=\left(x^2+3x-10\right)Q\left(x\right)\)
=> Q (x) có bậc 1
=> \(Q\left(x\right)=mx+n\)
=> \(ax^3+bx^2+5x-50=\left(x^2+3x-10\right)\left(mx+n\right)\)
Ta có \(\hept{\begin{cases}x^2.mx=mx^3=ax^3\\-10n=-50\end{cases}}\)<=> \(\hept{\begin{cases}m=a\\n=5\end{cases}}\)
=> \(ax^3+bx^2+5x-50=\left(x^2+3x-10\right)\left(ax+5\right)\)
=> \(ax^3+bx^2+5x-50=ax^3+5x^2+3ax^2+15x-10ax-50\)
=> \(ax^3+bx^2+5x-50=ax^3+\left(5+3a\right)x^2+\left(15-10a\right)x-50\)
Đồng nhất hệ số: \(\hept{\begin{cases}5+3a=b\\15-10a=5\end{cases}}\)<=> \(\hept{\begin{cases}5+3a=b\\5\left(3-2a\right)=5\end{cases}}\)<=> \(\hept{\begin{cases}5+3a=b\\3-2a=1\end{cases}}\)<=> \(\hept{\begin{cases}b=8\\a=1\end{cases}}\)
Vậy khi \(\hept{\begin{cases}b=8\\a=1\end{cases}}\)thì \(\left(ax^3+bx^2+5x-50\right)⋮\left(x^2+3x-10\right)\)
