Question

Với x,y,z,t >0 chứng minh \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}+1\ge\frac{16}{x+y+z+t}+1\)

Answer 1

Áp dụng bđt cauchy schwarz dạng engel , ta có :

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}=\frac{1^2}{x}+\frac{1^2}{y}+\frac{1^2}{z}+\frac{1^2}{t}\ge\frac{16}{x+y+z+t}\)

\(< =>\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}+1\ge\frac{16}{x+y+z+t}+1\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=t\)

Vậy ta có điều phải chứng minh 

Answer 2

cách khác :3

Áp dụng bđt phụ : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

\(< =>\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)

\(< =>\frac{a+b}{ab}.\left(a+b\right).ab\ge\frac{4}{a+b}.\left(a+b\right).ab\)

\(< =>\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(< =>a^2+2ab+b^2\ge4ab\)

\(< =>\left(a-b\right)^2\ge\)(luôn đúng)

Nên ta có : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}+1\ge\frac{4}{x+y}+\frac{4}{z+t}+1\ge\frac{16}{x+y+z+t}+1\)

Answer 3

dcv_new: Cách đó có khác gì Cauchy Schwarz đâu :V

Có thể làm như thế này nếu không muốn dùng Schwarz:

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}\ge\frac{4}{\sqrt[4]{xyzt}}\ge\frac{4}{\sqrt[4]{\left(\frac{x+y+z+t}{4}\right)^4}}=\frac{16}{x+y+z+t}\)

Đẳng thức xảy ra tại x=y=z=t

Answer 4

Bài làm:

Áp dung bất đẳng thức Svac-xơ ta có:

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}+1\ge\frac{\left(1+1+1+1\right)^2}{x+y+z+t}+1=\frac{4^2}{x+y+z+t}+1=\frac{16}{x+y+z+t}+1\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=z=t\)

Học tốt!!!!