\(Q=\frac{x^2}{\sqrt{x\left(x^3+8y^3\right)}}+\frac{2y^2}{\sqrt{y\left[y^3+\left(x+y\right)^3\right]}}\)
\(=\frac{x^2}{\sqrt{\left(x^2+2xy\right)\left(x^2-2xy+4y^2\right)}}+\frac{2y^2}{\sqrt{\left(xy+2y^2\right)\left(x^2+xy+y^2\right)}}\)
\(\ge\frac{2x^2}{2x^2+4y^2}+\frac{4y^2}{2y^2+\left(x+y\right)^2}\)\(\ge\frac{2x^2}{2x^2+4y^2}+\frac{4y^2}{2x^2+4y^2}=1\)
\(\Rightarrow Q\ge1\).Vậy MinQ=1
\(Q=\frac{x^2}{\sqrt{x^4+8xy^3}}+\frac{2y^2}{\sqrt{y\left(y^3+\left(x+y\right)^3\right)}}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
\(x^4+8xy^3=x^4+8.xy.y^2\le x^4+4\left(x^2y^2+y^4\right)=\left(x^2+2y^2\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{\sqrt{x^3+8xy^3}}\ge\frac{x^2}{x^2+2y^2}\)
\(\sqrt{y\left(y^3+\left(x+y\right)^3\right)}=\sqrt{\left(xy+2y^2\right)\left(x^2+y^2+xy\right)}\le\frac{x^2+3y^2+2xy}{2}=\frac{2y^2+\left(x+y\right)^2}{2}\)
\(\le\frac{2y^2+2\left(x^2+y^2\right)}{2}=x^2+2y^2\)
\(\Rightarrow Q\ge\frac{x^2}{x^2+2y^2}+\frac{2y^2}{x^2+2y^2}=1\)
Vậy minQ= 1 tại \(x=y>0\)
Bonus cho các bạn 1 cách rất hay nè:
\(Q=\sqrt{\frac{1}{1+8\left(\frac{y}{x}\right)^3}}+\sqrt{\frac{4}{1+\left(\frac{x}{y}+1\right)^3}}\) (CHIA CẢ TỬ VÀ MẪU LẦN LƯỢT CHO \(x^3;y^3\))
Đặt: \(\frac{y}{x}=a;\frac{x}{y}=b\) => ab=1
=> \(Q=\sqrt{\frac{1}{1+8a^3}}+\sqrt{\frac{4}{1+\left(b+1\right)^3}}\)
=> \(Q=\frac{2}{2\sqrt{\left(2a+1\right)}.\sqrt{4a^2-2a+1}}+\frac{4}{2\sqrt{\left(b+2\right)}.\sqrt{b^2+b+1}}\)
=> \(Q\ge\frac{2}{4a^2+2}+\frac{4}{b^2+2b+3}\)
=> \(Q\ge\frac{1}{2a^2+1}+\frac{4}{b^2+3+b^2+1}\)
=> \(Q\ge\frac{1}{2a^2+1}+\frac{2}{b^2+2}\)
Ta thay lại 2 giá trị ẩn phụ đã đặt ở trên đó là: \(a=\frac{y}{x};b=\frac{x}{y}\)
Khi đó \(Q\ge\frac{1}{2\left(\frac{y}{x}\right)^2+1}+\frac{2}{\left(\frac{x}{y}\right)^2+2}\)
=> \(Q\ge\frac{1}{\frac{2y^2+x^2}{x^2}}+\frac{2}{\frac{x^2+2y^2}{y^2}}\)
=> \(Q\ge\frac{x^2}{x^2+2y^2}+\frac{2y^2}{x^2+2y^2}=\frac{x^2+2y^2}{x^2+2y^2}=1\)
Vậy Q min = 1 <=> \(x=y\)
cách của mình cũng khá giống của Hermit nhưng chắc ngắn hơn
do x>0 nên ta co \(Q=\sqrt{\frac{x^3}{1+\frac{8y^3}{x^3}}}+\sqrt{\frac{4}{1+\left(\frac{x}{y}+1\right)^3}}\)
đặt t=\(\frac{y}{x}\)(t>0) thì ta có \(Q=\sqrt{\frac{1}{1+8t^3}}+\sqrt{\frac{4}{1+\left(\frac{1}{t}+1\right)^3}}\)
mặt khác theo bđt AM-GM ta có \(1+8t^3=\left(1+2t\right)\left(4t^2-2t+1\right)\le\frac{1}{4}\left(4t^2+2\right)^2=\left(2t^2+1\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{1}{1+8t^3}}\ge\frac{1}{2t^2+1}\left(1\right)\)
ta sẽ chứng minh \(\sqrt{\frac{4}{1+\left(\frac{1}{t}+1\right)^3}}\ge\frac{2t^2}{2t^2+1}\left(2\right)\)
thật vậy, ta có (2) \(\Leftrightarrow\left(2t^2+1\right)^2\ge t^4+t\left(t+1\right)^3\)
\(\Leftrightarrow\left(t-1\right)^2\left(2t^2+t+1\right)\ge0\)(luôn đúng)
từ (1) và (2) ta suy ra \(P\ge\frac{1}{2t^2+1}+\frac{2t^2}{2t^2+1}=1\)
đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}1+2t=4t^2-2t+1\\t=1\end{cases}\Leftrightarrow t=1\Leftrightarrow x=y}\)
