Question

Với x,y > 0; chứng minh BĐT dưới đây:

                      \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)

Answer 1

xét hiệu \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{4}{x+y}=\frac{y+x}{xy}-\frac{4}{x+y}\)

                                              \(=\frac{\left(x+y\right)^2}{xy\left(x+y\right)}-\frac{4xy}{xy\left(x+y\right)}=\frac{x^2+2xy+y^2-4xy}{x^2y+xy^2}\)

                                                \(=\frac{\left(x-y\right)^2}{xy\left(x+y\right)}\)

vì (x-y)² \(\ge0\)

ta có x,y > 0 nên xy(x+y)>0

\(\Rightarrow\)\(\frac{\left(x-y\right)^2}{xy\left(x+y\right)}\ge0\)hay \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{4}{x+y}\ge0\)

vậy \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)

Answer 2

à mà toán này lớp 8 mà bạn