Question

Với số tự nhiên n, chứng tỏ giá trị của E=\(\sqrt{x^2+\sqrt{4x^2+\sqrt{36x^2+10x+3}}}\)không là số nguyên

Answer 1

Ta thấy với x = 0 và x = 1 thì E không phải số nguyên nên ta xét x > 1

Ta chứng minh

\(\sqrt{36x^2+10x+3}< \sqrt{1024x^2+1024x+256}\)

Và \(36x^2+10x+3>16x^2+8x+1\)Ta thấy rằng với x > 1 thì cả 2 cái trên đều đúng

Từ đó ta có

\(\sqrt{x^2+\sqrt{4x^2+\sqrt{16x^2+8x+1}}}< E< \sqrt{x^2+\sqrt{16x^2+\sqrt{1024x^2+1024x+256}}}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+\sqrt{4x^2+4x+1}}< E< \sqrt{x^2+\sqrt{16x^2+32x+16}}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+2x+1}< E< \sqrt{x^2+4x+4}\)

\(\Leftrightarrow x+1< E< x+2\)

Vì E nằm giữa hai số nguyên liên tiếp nên E không phải là số nguyên