Question

Với \(n\in Z\), chứng minh rằng: \(5n^3+15n^2+10n\) chia hết cho 30

Answer 1

\(5n^3+15n^2+10n\)

\(=\left(5n^3+5n^2\right)+\left(10n^2+10n\right)\)

\(=5n^2\left(n+1\right)+10n\left(n+1\right)\)

\(=n\left(n+1\right)\left(5n+10\right)\)

\(=n\left(n+1\right)\left(n+2\right).5\)

Vì \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 6; tức tích \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right).5\)chia hết cho 6.

Tích \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right).5\) thừa số 5 nên chia hết cho 5.

Mà ƯCLN ( 5;6) = 1 nên \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right).5\)chia hết cho 5.6 = 30

Vậy \(5n^3+15n^2+10n\)chia hết cho 30