Question

Với n thuộc N, giải thích tại sao \(a=1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{n^2}\) không phải là số tự nhiên

Answer 1

Ta có \(\dfrac{1}{2^2}=\dfrac{1}{2.2}< \dfrac{1}{1.2};\dfrac{1}{3^2}=\dfrac{1}{3.3}< \dfrac{1}{2.3};...;\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{1}{n.n}< \dfrac{1}{\left(n-1\right)n}\)

Do đó \(a< 1+\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{\left(n-1\right)n}=1+\left(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right)+...+\left(\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}\right)\)

\(=1+1-\dfrac{1}{n}=1-\dfrac{1}{n}< 2\) . Suy ra \(1< a< 2\)

Vậy \(a\) khôg phải số tự nhiên

 

Answer 2

Ta có: `1 < 1 + 1/2^2 + ... + 1/n^2`

`1/(2.2) < 1/(1.2)`

`1/(3.3) < 1/(2.3)`

`...`

`1/(n^2) < 1/(n-1(n))`

`=> 1/2^2 + ... + 1/n^2 < 1/(1.2) + ... + 1/(n-1(n)) = 1/1 - 1/n < 1`.

`=> a < 1 + 1 = 2`.

`=> 1 < a < 2`.

`=>` Đây không là số tự nhiên.