+) n là số nguyên tố > 5
=> n có dạng 5k + 1; 5k + 2; 5k + 3; 5k + 4
Có: ( 5k + 1)^4 và 1^4 có cùng số dư khi chia cho 5
( 5k + 2 )^4 và 2^4 có cùng số dư khi chia cho 5
( 5k + 3 )^4 và 3^4 có cùng số dư khi chia cho 5
( 5k + 4 )^4 và 4^4 có cùng số dư khi chia cho 5
mà 1^4 - 1; 2^4-1; 3^4-1 ; 4^4 - 1 chia hết cho 5
=> n^4 - 1 chia hết cho 5 với n là số nguyên tố lớn hơn 5 (1)
+) n^4 - 1 = ( n^2 - 1 ) ( n^2 + 1 ) = ( n - 1 ) ( n + 1 ) (n^2 + 1 )
n là số nguyên tố lớn hơn 5 => n là số lẻ => ( n - 1) ( n + 1 ) chia hết cho 8 ; n^2 + 1 chia hết cho 2
=> n^4 - 1 chia hết cho 16 (2)
+) n là số nguyên tố lớn hơn 5 => n có dạng 6k + 1; 6k + 5
Nếu n = 6k + 1 => n^4 - 1 = ( n - 1 ) ( n + 1 ) ( n^2 + 1 ) = 6k ( n + 1 ) ( n^2 + 1 ) chia hết cho 3
Nếu n = 6k + 5 => n^4 - 1 = ( n - 1 ) ( 6k + 6 ) ( n^2 + 1 ) = 6 ( n - 1 ) ( k + 1 ) ( n^2 + 1 ) chia hết cho 3
Vậy n^4 - 1 chia hết cho 3 với n là số nguyên tố lớn hơn 5 (3)
Từ (1); (2); (3) và 5; 16; 3 đôi 1 nguyên tố cùng nhau
=> n^4 - 1 chia hết cho tích 5.16.3
=> n^4 - 1 chia hết cho 240
