Question

Với mọi số tự nhiên n chứng minh các phân số sau là phân số tối giản: A = 2n+1/2n+3

Các bạn giúp mk với :'(

Answer 1

Gọi (2n+1,2n+3) là d. ĐK  : \(d\inℕ^∗\)

Ta có : (2n+1,2n+3)=d

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n+1⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\)(2n+3)-(2n+1)\(⋮\)d

\(\Rightarrow\)2\(⋮\)d

\(\Rightarrow d\inƯ\left(2\right)=\left\{\pm1;\pm2\right\}\)

Mà 2n+1 là số nguyên lẻ nên \(d=\pm1\)

\(\Rightarrow\left(2n+1,2n+3\right)=\pm1\)

\(\Rightarrow\)2n+1 và 2n+3 là 2 số nguyên tố cùng nhau

\(\Rightarrow\)Phân số \(A=\frac{2n+1}{2n+3}\)tối giản với mọi số tự nhiên n  (đpcm)