a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc ≥ 0
<=> 2( a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc) ≥ 0
<=> (a2 - 2ac + c2) + (a2 - 2ab + b2) + (b2 - 2bc + c2) > 0
<=> (a - c)2 + (a - b)2 + ( b - c)2 > 0
Điều này luôn đúng với mọi a; b; c
=> điều cần chứng minh
Dấu "=" xảy ra <=> a - c = 0; a - b = 0 ; b - c = 0 <=> a = b = c
\(BPT\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\ge0\)
<=> \(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac\ge0\)
<=> \(a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2\ge0\)
<=> \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
BĐT cuối luôn đúng vì \(\left(a-b\right)^2\ge0;\left(b-c\right)^2\ge0;\left(c-a\right)^2\ge0\)
=> \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
Dấu '=' của BĐT xảy ra khi a = b = c
bài làm
a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc ≥ 0
<=> 2( a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc) ≥ 0
<=> (a2 - 2ac + c2) + (a2 - 2ab + b2) + (b2 - 2bc + c2) > 0
<=> (a - c)2 + (a - b)2 + ( b - c)2 > 0
=> ĐPCM
Dấu "=" xảy ra <=>
a - c = 0;
a - b = 0 ;
b - c = 0
<=> a = b = c
hok tốt
