Question

Với a,b,c>0          Cmr:      \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}\) +\(\sqrt{\frac{c}{a+b}}\)     

đố ai mà làm đó

Answer 1

Ta dễ dàng chứng minh được nếu x,y,m là những số dương sao cho \(\frac{x}{y}< 1\) thì  \(\frac{x}{y}< \frac{x+m}{y+m}\)

Áp dụng điều trên ta có vế trái: \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{a+c}{a+b+c}+\frac{b+a}{a+b+c}+\frac{c+b}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\) (1)

Ta xét vế còn lại và áp dụng BĐT Cauchy : \(\sqrt{\frac{b+c}{a}.1}\le\frac{a+b+c}{2a}\Rightarrow\sqrt{\frac{a}{b+c}}\ge\frac{2a}{a+b+c}\)

\(\sqrt{\frac{b}{c+a}}\ge\frac{2b}{a+b+c}\) ; \(\sqrt{\frac{c}{c+a}}\ge\frac{2c}{a+b+c}\)

Cộng các vế : \(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}>2\) (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra đpcm.

Answer 2

cảm ơn nhé