Question

Với a,b,c là 3 số thực phân biệt đôi một .CMR:\(\left(a^2+b^2+c^2\right).\left[\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}\right]\ge\frac{9}{2}\)

Answer 1

Giả sử:

\(a>b>c\Rightarrow a-b>0,b-c>0,a-c>0\)

Ta có:

\(\hept{\begin{cases}a^2+b^2+c^2\ge a^2+c^2\\\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}\ge\frac{\left(\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}\right)^2}{2}\ge\frac{8}{\left(a-c\right)^2}\end{cases}}\)

Từ đây ta có:

\(VT\ge\left(a^2+c^2\right).\frac{9}{\left(c-a\right)^2}\)

Ta chứng minh

\(\left(a^2+c^2\right).\frac{9}{\left(c-a\right)^2}\ge\frac{9}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+c\right)^2\ge0\)(Đúng)

Vậy ta có điều phải chứng minh là đúng. Dấu = xảy ra khi a = - c; b = 0 và các hoán vị của nó