Question

Với a,b,c >0.CMR:\(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}\ge\frac{2\left(a+b\right)}{a+b+c}\)

Answer 1

Áp dụng BĐT Cô - si ta có:

\(\sqrt{1.\frac{b+c}{a}}\le\frac{1+\frac{b+c}{a}}{2}=\frac{a+b+c}{2a}\Rightarrow\sqrt{\frac{a}{b+c}}\ge\frac{2a}{a+b+c}\)

Tương tự:\(\sqrt{1.\frac{a+c}{b}}\le\frac{1+\frac{a+c}{b}}{2}=\frac{a+b+c}{2b}\Rightarrow\sqrt{\frac{a}{b+c}}\ge\frac{2b}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}\ge\frac{2\left(a+b\right)}{a+b+c}\)

Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi a = b + c và b = a + c. Điều này không xảy ra. Do đó ko xảy ra dấu bằng

Vậy: \(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}>\frac{2\left(a+b\right)}{a+b+c}\)