Ta có \(\sqrt{1+a^4}+\sqrt{1+b^4}\ge\)\(\ge\)\(\sqrt{2^2+\left(a^2+b^2\right)^2}\)(1)
Ta lại có \(\frac{a^2+b^2}{2}\ge ab\)
\(\frac{a^2+1}{2}\ge a\)
\(\frac{b^2+1}{2}\ge b\)
Từ đó => a2 + b2 \(\ge\)a + b + ab - 1 = \(\frac{1}{4}\)
Thế vào 1 ta được P \(\ge\)\(\frac{\sqrt{65}}{4}\)
\(\frac{9}{4}=\left(a+1\right)\left(b+1\right)\le\frac{\left(a+1\right)^2+\left(b+1\right)^2}{2}=\frac{2\left(a^2+1\right)+2\left(b^2+1\right)}{2}=a^2+b^2+2.\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{4}\)
\(\sqrt{1+a^4}+\sqrt{1+b^4}\ge\sqrt{\left(1+1\right)^2+\left(a^2+b^2\right)^2}\ge\sqrt{4+\left(\frac{1}{4}\right)^2}=\frac{\sqrt{17}}{2}\)
mincopxki nhé chứng minh trên cơ sở của bunhia và dấu bằng của nó cũng là bunhia
Dùng BĐT Cauchy Schwarz dạng \(\left(1+a^4\right)\left(16+1\right)\ge\left(4+a^2\right)^2\)
\(P\ge\frac{1}{\sqrt{17}}\left(a^2+b^2+8\right)\)
Mà theo BĐT Cauchy
\(\frac{3}{2}\left(a^2+b^2+8\right)=\left(a^2+\frac{1}{4}\right)+\left(b^2+\frac{1}{4}\right)+\frac{a^2+b^2}{2}+\frac{23}{2}\)
\(\ge a+b+ab+1+\frac{21}{2}\)
\(=\left(a+1\right)\left(b+1\right)+\frac{21}{2}=\frac{51}{4}\)
Hay \(a^2+b^2+8\ge\frac{17}{2}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{\sqrt{17}}{2}\)
Đẳng thức khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
