\(2.\left(a+b\right)\ge a+2\sqrt{ab}+b\)(a,b >=0)
\(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\)(luôn đúng với mọi a,b >=0)
Vì BĐT cuối đúng nên BĐT đầu đúng
ta có:\(\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(a+b\right)^2}\ge\sqrt{4ab}\)
\(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)
Vì a,b là các số không âm nên \(\sqrt{ab}=\sqrt{a}.\sqrt{b}\)
\(\Leftrightarrow a+b+a+b\ge a+2\sqrt{a}.\sqrt{b}+b\)
\(\Leftrightarrow2\left(a+b\right)\ge\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\left(ĐPCM\right)\)
