Question

Với a,b #0 CMR: a^2/b^2 +b^2/a^2 > hoặc = a/b+b/a

giúp tơ nha

Answer 1

Biến đổi tương đương ta có

\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^4+b^4-a^3b-ab^3}{a^2b^2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4-a^3b-ab^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4-2a^2b^2+2a^2b^2-a^3b-ab^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2-ab\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)^2-ab\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(\left(a+b\right)^2-ab\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\) (Luôn đúng)