Question

Viết số 2015²⁰¹⁶ thành 100 số tự nhiên bất kì

Hỏi tổng các lập phương của mỗi số hạng vừa tìm được chia cho 6 dư bao nhiêu?

Answer 1

đặt 2015²⁰¹⁶ = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + ... + a₁₀₀

đặt    S = a₁³ + a₂³ + a₃³ + a₄³ + ... + a₁₀₀³

     S - 2015²⁰¹⁶ = (a₁³ + a₂³ + a₃³ + a₄³ + ... + a₁₀₀³) - (a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + ... + a₁₀₀)

                       = (a₁³ - a₁) + (a₂³ - a₂) + (a₃³ - a₃) + (a₄³ - a₄) + ... + (a₁₀₀³ - a₁₀₀)

ta thấy mỗi hiệu trên đều chia hết cho 6(vì mỗi hiệu đều là tích 3 số tự nhiên liên tiếp)

=> S - 2015²⁰¹⁶ chia hết cho 6

=> S và 2015²⁰¹⁶ chia 6 có cùng số dư

lại thấy 2015 chia 6 dư -1 => 2015²⁰¹⁶ chia 6 dư (-1)²⁰¹⁶ hay 2015²⁰¹⁶ chia 6 dư 1

=> S chia 6 dư 1

vậy tổng các lập phương của mỗi số hạng của tổng 2015²⁰¹⁶ chia 6 dư 1