Question

Viết phương trình đường tròn (C) biết (C) tiếp xúc với trục Oy và đi qua 2 điểm A(2;0) và B(4;2).

Answer 1

\(\overrightarrow{AB}=\left(2;2\right)=2\left(1;1\right)\)

Gọi M là trung điểm AB \(\Rightarrow M\left(3;1\right)\)

Phương trình trung trực d của AB có dạng:

\(1\left(x-3\right)+1\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow x+y-4=0\)

Gọi I là tâm đường tròn \(\Rightarrow I\in d\Rightarrow I\left(a;4-a\right)\)

Do (C) tiếp xúc Oy \(\Rightarrow R=\left|x_I\right|=\left|a\right|\)

Mặt khác \(\overrightarrow{AI}=\left(a-2;4-a\right)\Rightarrow R^2=AI^2=\left(a-2\right)^2+\left(4-a\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(a-2\right)^2+\left(4-a\right)^2=a^2\)

\(\Leftrightarrow a^2-12a+20=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=10\\a=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}I\left(10;-6\right)\\R=10\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}I\left(2;2\right)\\R=2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Có 2 đường tròn thỏa mãn:

\(\left[{}\begin{matrix}\left(x-10\right)^2+\left(y+6\right)^2=100\\\left(x-2\right)^2+\left(y-2\right)^2=4\end{matrix}\right.\)