Ta có: \(1995^{1995}=a_1+a_2+...+a_n\)
\(\Rightarrow a_1+a_2+...+a_n\)là số lẻ
\(\Rightarrow a_1^3+a_2^3+...+a_n^3\) là số lẻ (1)
Ta lại có:
\(\left(1995^{1995}\right)^3=\left(a_1+a_2+...+a_n\right)3\)
\(\Leftrightarrow1995^{5985}=a_1^3+a_2^3+...+a_n^3+3A\)(2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow3A\)là số chẵn hay \(3A⋮6\)
Vậy số dư của \(a_1^3+a_2^3+...+a_n^3\)chia cho 6 sẽ đúng bằng số dư của \(1995^{5985}\)chia cho 6
Ta có: \(1995\text{≡}3\left(mod6\right)\Rightarrow1995^{5985}\text{≡}3^{5985}\left(mod6\right)\)(3)
Mà ta có: \(3^{5985}-3=3\left(3^{5984}-1\right)=3.2.B=6.B\) (B chỉ là ký hiệu phần còn lại. Ký hiệu cho gọn)
Từ đây thì ta có: \(3^{5985}\text{≡}3\left(mod6\right)\)(4)
Từ (3) và (4) \(\Rightarrow1995^{5985}\text{≡}3^{5985}\text{≡}3\left(mod6\right)\)
Vậy \(a_1^3+a_2^3+...+a_n^3\) chia cho 6 dư 3
1 cách khác ngắn gọn hơn:
ĐK: a1;a2;a3;...;an nguyên
Xét hiệu: (a13 + a23 + a33 + ... + an3) - (a1 + a2 + a3 + ... + an)
= a1(a12 - 1) + a2(a22 - 1) + a3(a32 - 1) + ... + an(an2 - 1)
= (a1-1)a1(a1+1) + (a2-1)a2(a2+1) + (a3-1)a3(a3+1) + ... + (an-1)an(an+1)
Dễ thấy (a1-1)a1(a1+1) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6
Tương tự với các trường hợp còn lại ta có: (a13 + a23 + a33 + ... + an3) - (a1 + a2 + a3 + ... + an) chia hết cho 6 (*)
1995 lẻ => 19951995 lẻ => 19951995 không chia hết cho 6 (1)
Lại thấy 19951995 chia hết cho 3, kết hợp với (1) => 19951995 chia 6 dư 3
Từ đây kết hợp với đề và (*) => a13 + a23 + a33 + ... + an3 chia 6 dư 3
Mình còn chẳng biết làm nữa huống chi là mấy cậu.
bó cả 2 tay mình chịu thua toán lớp 9
