Question

Từ 1 điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R) vẽ 2 tiếp tuyến AB , AC với đường tròn. Trên cung nhỏ BC lấy 1 điểm M, vẽ MI vuông góc với AB, MK vuông góc với AC

a) CM tg AIMK nt
b) Vẽ Mp vương góc với BC. Cm góc MPK = góc MBC
c) Xác định vị trí của điểm M trên cung BC để MI, MK, MP đạt GTNN

Answer 1

Gọi H là hình chiếu của O trên BC. 

ta có OH = const (BC cố định)
a.
{MI  ⊥ABMK  ⊥AC{MI  ⊥ABMK  ⊥AC


→{AIM^=90oAKM^=90o→{AIM^=90oAKM^=90o

→→ tứ giác AIMK nt đtròn đkính AM.
b.
Ta có:
MKC^+MPC^=180oMKC^+MPC^=180o

→→ Tứ giác MPCK nt đtròn đkính MC

→MPK^=MCK^  (1)→MPK^=MCK^  (1) (góc nt cùng chắn MK⌢MK⌢ )

Xét (O;R), ta có:

MBC^=MCK^  (2)MBC^=MCK^  (2) (góc nt và góc tt với dây cung cùng chắn MC⌢MC⌢ )

K/h (1),(2) : MPK^=MBC^  (3)MPK^=MBC^  (3)

c. lần lượt CM:

MPK^=MIP^  (4)MPK^=MIP^  (4)

MPI^=MKP^MPI^=MKP^

→ΔMIP∼ΔMPK→ΔMIP∼ΔMPK

Tỉ số đồng dạng :

MIMP=MPMKMIMP=MPMK

→MP2=MI.MK→MP2=MI.MK

→MP3=MI.MK.MP→MP3=MI.MK.MP

MI.MK.MPMax↔MPMaxMI.MK.MPMax↔MPMax

Ta có: MP+OH≤RMP+OH≤R

→MP≤R−OH→MP≤R−OH

→MPMax→MPMax bằng R-OH. Khi O,H,M thẳng hàng

Vậy MI.MK.MPMax=(R−OH)3MI.MK.MPMax=(R−OH)3 khi O,H,M thẳng hàng

Answer 2

Gọi H là hình chiếu của O trên BC. ta có OH = const (BC cố định)a.{MI ⊥ABMK ⊥AC{MI ⊥ABMK ⊥AC→{AIM^=90oAKM^=90o→{AIM^=90oAKM^=90o→→ tứ giác AIMK nt đtròn đkính AM.b.Ta có:MKC^+MPC^=180oMKC^+MPC^=180o→→ Tứ giác MPCK nt đtròn đkính MC→MPK^=MCK^ (1)→MPK^=MCK^ (1) (góc nt cùng chắn MK⌢MK⌢ )Xét (O;R), ta có:MBC^=MCK^ (2)MBC^=MCK^ (2) (góc nt và góc tt với dây cung cùng chắn MC⌢MC⌢ )K/h (1),(2) : MPK^=MBC^ (3)MPK^=MBC^ (3)c. lần lượt CM:MPK^=MIP^ (4)MPK^=MIP^ (4)MPI^=MKP^MPI^=MKP^→ΔMIP∼ΔMPK→ΔMIP∼ΔMPKTỉ số đồng dạng :MIMP=MPMKMIMP=MPMK→MP2=MI.MK→MP2=MI.MK→MP3=MI.MK.MP→MP3=MI.MK.MPMI.MK.MPMax↔MPMaxMI.MK.MPMax↔MPMaxTa có: MP+OH≤RMP+OH≤R→MP≤R−OH→MP≤R−OH→MPMax→MPMax bằng R-OH. Khi O,H,M thẳng hàngVậy MI.MK.MPMax=(R−OH)3MI.MK.MPMax=(R−OH)3 khi O,H,M thẳng hàng