Question

Trong tam giác vuông có độ dài các cạnh là số nguyên mà giá trị diện tích và chu vi bằng nhau, độ dài đường cao ứng với cạnh huyền đạt giá trị lớn nhất có thể là… (Nhập kết quả dưới dạng phân số tối giản) 

Answer 1

Gọi đọ dài 2 cạnh góc vuông là a và b => Độ dài cạnh huyền là \(\sqrt{a^2+b^2}\)

Gọi đường cao là h.

=> Chu vi tam giác là: \(a+b+\sqrt{a^2+b^2}\)

Diện tích tam giác là: \(\frac{1}{2}.\sqrt{a^2+b^2}.h\)

Theo bài ra ta có: \(a+b+\sqrt{a^2+b^2}=\frac{1}{2}.\sqrt{a^2+b^2}.h\)

=> \(h=\frac{2a+2b+2\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{a^2+b^2}}=2+2.\frac{a+b}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

Theo BĐT Bunhiacopxki có: \(\left(1.a+1.b\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2\right)\)

<=> \(a+b\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\)

=> \(h\le2+2.\frac{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}}{\sqrt{a^2+b^2}}=2+2\sqrt{2}\)

=> Giá trị lớn nhất của chiều cao thỏa mãn đk là: \(h_{max}=2+2\sqrt{2}\)