Question

trong một nhóm các số nguyên dương phân biệt,số lớn nhất bé hơn 36 và bằng 3 lần số nhỏ nhất.số nhỏ nhất bằng \(\dfrac{2}{3}\) trung bình cộng của các số trong nhóm.hỏi nhóm này có tối đa bao nhiêu số?

Answer 1

Lời giải:
Giả sử nhóm trên có $m$ số nguyên dương phân biệt thỏa mãn, xếp theo thứ tự tăng dần là $a_1,a_2,....,a_m$

Ta có:

$a_1=\frac{2}{3}.\frac{a_1+a_2+....+a_m}{m}$

$3ma_1=2(a_1+a_2+....+a_m)$

$\geq 2[a_1+(a_1+1)+(a_1+2)+....+(a_1+m-2)+3a_1]$

$=2[(m+2)a_1+\frac{(m-1)(m-2)}{2}]=(2m+4)a_1+(m-1)(m-2)$

$\Rightarrow a_1(m-4)\geq (m-1)(m-2)$

Vì $m\geq 2$ nên $m-4\geq 0$

$a_1=\frac{a_m}{3}< \frac{36}{3}=12$

$\Rightarrow a_1\leq 11$

$\Rightarrow 11(m-4)\geq (m-1)(m-2)$

$\Leftrightarrow m^2-14m+46\leq 0$

$\Leftrightarrow -\sqrt{3}+7\leq m\leq \sqrt{3}+7$

Mà $m$ nguyên nên 6\leq m\leq 8$

Vậy $m_{\max}=8$

Ta sẽ chỉ ra bộ số thỏa mãn:

$(11,12,13,14,15,16,18,33)$