Question

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hàm số y=\(\dfrac{1}{2}\)x² có đồ thị (P) và đường thẳng (d) sao cho phương trình y=x+\(\dfrac{1}{2}m^2+m+1\) với m là tham số.

Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ x₁, x₂ sao cho \(x_1^3+x^3_2\) =68

Answer 1

Hoành độ giao điểm (P) ; (d) tm pt 

\(\frac{1}{2}x^2-x-\frac{1}{2}m^2-m-1=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x-m^2-2m-2=0\)

\(\Delta'=1-\left(-m^2-2m-2\right)=m^2+2m+3=\left(m+1\right)^2+2>0\)

Vậy pt luôn có 2 nghiệm pb 

Theo Vi et \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2\\x_1x_2=-m^2-2m-2\end{cases}}\)

Ta có \(\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)=68\)

\(\Leftrightarrow8-6\left(-m^2-2m-2\right)=68\)

\(\Leftrightarrow6m^2+12m-48=0\Leftrightarrow m=2;m=-4\)

Answer 2

Xét Pt hoành độ.......

\(\dfrac{1}{2}x^2=x+\dfrac{1}{2}m^2+m+1\\ \Leftrightarrow x^2-2x-m^2-2m-2=0\left(1\right)\)

Để ... thì Δ'>0

1+m²+2m+2>0 ⇔(m+1)²+2>0 (Hiển nhiên)

Với mọi m thì (1) sẽ có 2 nghiệm x₁; x_2.

_{*) Theo Hệ thức Viet ta có:} 

S=x₁+x₂=2 và P=x₁x₂= -m²-2m-2

*)Ta có: 

\(\text{x^3_1 ​ +x ^3_2 ​ =68\Leftrightarrow(x_1+x_2)(x_1}^2-x_1x_2+x_2^2\left(\right)=68\\ \)

⇔(x₁+x₂)[(x₁+x₂)²-2x₁x₂-x₁x₂ ]=68 ⇔2[2²-3(-m²-2m-2)]=68

⇔3m²+6m-24=0⇔m=2 và m=-4 

KL: