Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
THCS CLC DPT

Trong mặt phẳng Oxy,cho đường thẳng `(d): (m-4)x+(m-3)y=1` (m là tham số).Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng `(d)` là lớn nhất.

Lê Thị Thục Hiền
29 tháng 5 2021 lúc 18:28

Xét m=4 =>(d):y=1 =>Khoảng cách từ gốc tọa độ đến đt (d) khi đó là 1

Xét m=3 =>(d):x=-1=> Khoảng cách từ gốc tọa độ đến đt (d) khi đó là 1

Xét \(m\ne4;m\ne3\)

Gọi \(A=Ox\cap\left(d\right)\) \(\Rightarrow A\left(\dfrac{1}{m-4};0\right)\)\(B=Oy\cap\left(d\right)\Rightarrow B\left(0;\dfrac{1}{m-3}\right)\)

Gọi H là hình chiếu của O lên AB

Có \(OH^2=\dfrac{OA^2.OB^2}{OA^2+OB^2}=\dfrac{\left(\dfrac{1}{m-4}\right)^2.\left(\dfrac{1}{m-3}\right)^2}{\left(\dfrac{1}{m-4}\right)^2+\left(\dfrac{1}{m-3}\right)^2}\)

\(=\dfrac{1}{\left(m-4\right)^2\left(m-3\right)^2\left[\dfrac{1}{\left(m-4\right)^2}+\dfrac{1}{\left(m-3\right)^2}\right]}\)

\(=\dfrac{1}{\left(m-4\right)^2+\left(m-3\right)^2}\)

\(=\dfrac{1}{2m^2-14m+25}=\dfrac{1}{2\left(m-\dfrac{7}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}}\le2\)

=> \(OH\le\sqrt{2}\)

=> Khoảng cách lớn nhất gốc tọa độ đến (d) là \(\sqrt{2}\Leftrightarrow m=\dfrac{7}{2}\) (thỏa)

Trần Minh Hoàng
29 tháng 5 2021 lúc 18:50

Xét điểm \(A\left(-1;1\right)\). Dễ thấy A thuộc (d). Gọi H là hình chiếu của O trên (d). Ta có \(OH\le OA=\sqrt{2}\). Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(H\equiv A\), tức là \(d\perp OA\).

Ta cần tìm m sao cho \(d\perp OA\). Phương trình đường thẳng đi qua O, A là
y = -x. Xét m = 4 thì đường thẳng (d) trở thành \(y=1\), đường thẳng này song song với trục hoành và không vuông góc với d. Xét m khác 4. Khi đó \(\left(m-4\right)x+\left(m-3\right)y=1\Leftrightarrow y=\dfrac{4-m}{m-3}x+\dfrac{1}{m-3}\). Để \(d\perp OA\) thì \(\dfrac{4-m}{m-3}.\left(-1\right)=-1\Leftrightarrow4-m=m-3\Leftrightarrow m=\dfrac{7}{2}\).

Vậy Max \(OH=\sqrt{2}\Leftrightarrow m=\dfrac{7}{2}\).


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Thị Ngọc Mai
Xem chi tiết
Tuấn Nguyễn
Xem chi tiết
Tuấn Nguyễn
Xem chi tiết
Tuấn Nguyễn
Xem chi tiết
Thanh Trà
Xem chi tiết
Nguyễn Minh Nhật
Xem chi tiết
Sóng Bùi
Xem chi tiết
Anime Tổng Hợp
Xem chi tiết
Hà Kiều Anh
Xem chi tiết