Question

Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): \(x^2+y^2-4x-6y+5=0\) . Đường thẳng d qua A(3;2) và cắt (C) tại 2 điểm M,N phân biệt sao cho MN ngắn nhất có phương trình là gì ?

Giúp mình với sắp thi rồi

Answer 1

Đường tròn tâm \(I\left(2;3\right)\) bán kính \(R=2\sqrt{2}\)

\(\overrightarrow{IA}=\left(1;-1\right)\Rightarrow AI=\sqrt{2}< R\Rightarrow\) A nằm phía trong đường tròn

Gọi H là trung điểm MN \(\Rightarrow IH\perp MN\)

\(MN=2MH=2\sqrt{R^2-IH^2}=2\sqrt{8-IH^2}\)

\(\Rightarrow MN_{min}\) khi \(IH_{max}\)

Trong tam giác vuông IAH vuông tại H, ta luôn có \(IH\le IA\)

\(\Rightarrow IH_{max}=IA\) khi H trùng A hay đường thẳng d vuông góc AI

\(\Rightarrow\) d qua A và nhận \(\overrightarrow{IA}=\left(1;-1\right)\) là 1 vtpt

Phương trình d: \(1\left(x-3\right)-1\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow x-y-1=0\)